Studio del segno di alcune funzioni
Dunque intanto buongiorno a tutti, mi deprime proprio scrivere questo post in quanto ho dei dubbi davvero elementari eppure non ne vengo fuori (mi auguro sia la stanchezza). Non ho problemi con i concetti della analisi matematica (limiti, derivate, dominio etc) bensì con il benedetto studio del segno, nel senso che se ci ragiono mi accorgo degli errori ma mi mancano le competenze per risolverli. Elenco alcuni casi in cui mi sono perso 
:
--- $log(x/(x-1))>0$ sarebbe come dire $x/(x-1)>1$ dunque $x>x-1$.
Un numero, pur negativo, non è sempre maggiore del suo precedente? :/ Invece da un noto tool online, non ho idea se si possa citare, viene $x>1$.
--- $2x^2+3sqrt(x^2-1)>0$ sarebbe dire $2x^2> -3sqrt(x^2-1)$ quindi
tolgo la radice e moltiplico a destra $4x^4>9x^2-9$
pongo $t=x^2$ risolvo la disequazione di 2 grado ma i valori che ottengo ($t1=12/8$ e $t2=6/8$) non corrisponodon con le soluzioni proposte ovvero -1 e 1.
--- $1-ln((x^2-4)/(x^2-9))>0$ cerco di tagliare un pò i passaggi che ho fatto:
porto 1 a destra, moltiplico per (-1), cambio verso e tolgo il logaritmo e ottengo $(x^2-4)/(x^2-9)
raccolgo $x^2$ in una messa in evidenza parziale, di non sono assolutamente sicuro ed ottengo $x^2(1-e)+9e-4<0$ e poi di lì la radice della frazione (qualcosa di ostrogoto ovviamente
)
Dove sbaglio? Vorrei solo riuscire a capire un pò il procedimento, mi rendo conto che varia da funzione a funzione però io mi fermo su ogni esercizio, magari tralasciamo l'ultimo dove sono sicuro di aver inventato qualcosa con quel passaggio.
Ringrazio tutti per la collaborazione, mi auguro ch le formule siano scritte correttamente.
:--- $log(x/(x-1))>0$ sarebbe come dire $x/(x-1)>1$ dunque $x>x-1$.
Un numero, pur negativo, non è sempre maggiore del suo precedente? :/ Invece da un noto tool online, non ho idea se si possa citare, viene $x>1$.
--- $2x^2+3sqrt(x^2-1)>0$ sarebbe dire $2x^2> -3sqrt(x^2-1)$ quindi
tolgo la radice e moltiplico a destra $4x^4>9x^2-9$
pongo $t=x^2$ risolvo la disequazione di 2 grado ma i valori che ottengo ($t1=12/8$ e $t2=6/8$) non corrisponodon con le soluzioni proposte ovvero -1 e 1.
--- $1-ln((x^2-4)/(x^2-9))>0$ cerco di tagliare un pò i passaggi che ho fatto:
porto 1 a destra, moltiplico per (-1), cambio verso e tolgo il logaritmo e ottengo $(x^2-4)/(x^2-9)
raccolgo $x^2$ in una messa in evidenza parziale, di non sono assolutamente sicuro ed ottengo $x^2(1-e)+9e-4<0$ e poi di lì la radice della frazione (qualcosa di ostrogoto ovviamente
)Dove sbaglio? Vorrei solo riuscire a capire un pò il procedimento, mi rendo conto che varia da funzione a funzione però io mi fermo su ogni esercizio, magari tralasciamo l'ultimo dove sono sicuro di aver inventato qualcosa con quel passaggio.
Ringrazio tutti per la collaborazione, mi auguro ch le formule siano scritte correttamente.
Risposte
Nel caso di un'equazione, puoi infischiartene del denominatore perchè una frazione vale zero se e solo se il suo numeratore vale zero, ovviamente al netto dei valori che rendono zero il denominatore, per quei valori la frazione manco esiste:
$[x/(x-1)=1] rarr [1/(x-1)=0] rarr [1=0] rarr [nexists x inRR]$
Ma nel caso di una disequazione, devi tener conto anche del denominatore, visto che il segno di una frazione dipende anche da quest'ultimo:
$[x/(x-1)>1] rarr [1/(x-1)>0] rarr [x>1]$
Nel frattempo sposto in Secondaria di II grado.
$[x/(x-1)=1] rarr [1/(x-1)=0] rarr [1=0] rarr [nexists x inRR]$
Ma nel caso di una disequazione, devi tener conto anche del denominatore, visto che il segno di una frazione dipende anche da quest'ultimo:
$[x/(x-1)>1] rarr [1/(x-1)>0] rarr [x>1]$
Nel frattempo sposto in Secondaria di II grado.
Direi che o nel tuo corso di studi non erano incluse le disequazioni o le hai dimenticate; in entrambi i casi ti conviene procurarti un libro (di solito si fanno nel terzo anno delle superiori) e studiarle in modo sistematico.
La tua seconda disequazione è irrazionale e, a seconda dei casi, ci sono vari metodi, tutti basati sui seguenti due principi:
1) il radicando deve essere maggiore o uguale a zero;
2) si può elevare a quadrato solo se si ha la certezza che entrambi i membri sono positivi. Per definizione, una radice quadrata è positiva quindi la si isola nel membro in cui ha il più.
Per il punto 1 imponi $x^2-1>=0=>x<=-1 vv x>=1$
Per il punto 2 ottieni $3 sqrt(x^2-1)> -2x^2$ e non puoi elevare a quadrato perché il secondo membro è negativo. Puoi però dire che proprio per questo è minore del primo membro e non occorrono altri calcoli: la soluzione è la limitazione precedente.
Aggiungo che hai fatto un errore di calcolo nel risolvere la tua equazione, che non ha soluzioni reali.
Per la terza disequazione non puoi trascurare il denominatore, come ti ha già spiegato speculor: devi portare tutto allo stesso membro, dare denominatore comune (lasciandolo scritto), risolvere le disequazioni N>0 e D>0, riportare le soluzioni sul grafico dei segni e dedurne le zone il cui si ha il segno voluto. Devi inoltre imporre che l'argomento del logaritmo sia positivo. Se trascuriamo tutte queste cose (ma non è lecito) i tuoi calcoli sono giusti, compreso il raccoglimento, ma occhio alla prosecuzione: da $x^2(1-e)<-9e+4$ si ricava $x^2>(-9e+4)/(1-e)$ perché dividiamo entrambi i membri per un numero negativo. Conveniva cambiare tutti i segni prima del raccoglimento.
La tua seconda disequazione è irrazionale e, a seconda dei casi, ci sono vari metodi, tutti basati sui seguenti due principi:
1) il radicando deve essere maggiore o uguale a zero;
2) si può elevare a quadrato solo se si ha la certezza che entrambi i membri sono positivi. Per definizione, una radice quadrata è positiva quindi la si isola nel membro in cui ha il più.
Per il punto 1 imponi $x^2-1>=0=>x<=-1 vv x>=1$
Per il punto 2 ottieni $3 sqrt(x^2-1)> -2x^2$ e non puoi elevare a quadrato perché il secondo membro è negativo. Puoi però dire che proprio per questo è minore del primo membro e non occorrono altri calcoli: la soluzione è la limitazione precedente.
Aggiungo che hai fatto un errore di calcolo nel risolvere la tua equazione, che non ha soluzioni reali.
Per la terza disequazione non puoi trascurare il denominatore, come ti ha già spiegato speculor: devi portare tutto allo stesso membro, dare denominatore comune (lasciandolo scritto), risolvere le disequazioni N>0 e D>0, riportare le soluzioni sul grafico dei segni e dedurne le zone il cui si ha il segno voluto. Devi inoltre imporre che l'argomento del logaritmo sia positivo. Se trascuriamo tutte queste cose (ma non è lecito) i tuoi calcoli sono giusti, compreso il raccoglimento, ma occhio alla prosecuzione: da $x^2(1-e)<-9e+4$ si ricava $x^2>(-9e+4)/(1-e)$ perché dividiamo entrambi i membri per un numero negativo. Conveniva cambiare tutti i segni prima del raccoglimento.
"giammaria":
Direi che o nel tuo corso di studi non erano incluse le disequazioni o le hai dimenticate; in entrambi i casi ti conviene procurarti un libro (di solito si fanno nel terzo anno delle superiori) e studiarle in modo sistematico.
La tua seconda disequazione è irrazionale e, a seconda dei casi, ci sono vari metodi, tutti basati sui seguenti due principi:
1) il radicando deve essere maggiore o uguale a zero;
2) si può elevare a quadrato solo se si ha la certezza che entrambi i membri sono positivi. Per definizione, una radice quadrata è positiva quindi la si isola nel membro in cui ha il più.
Per il punto 1 imponi $x^2-1>=0=>x<=-1 vv x>=1$
Per il punto 2 ottieni $3 sqrt(x^2-1)> -2x^2$ e non puoi elevare a quadrato perché il secondo membro è negativo. Puoi però dire che proprio per questo è minore del primo membro e non occorrono altri calcoli: la soluzione è la limitazione precedente.
Dunque se non ho capito male (lo scrivo come mi è più congeniale) una radice di indice pari è sempre positiva per una costante >0 idem, l'opposto di un quadrato è sempre negativo. Una cosa positiva è maggiore di una negativa il tutto dove ha senso calcolarle (avevo già imposto il limite nel dominio).
Aggiungo che hai fatto un errore di calcolo nel risolvere la tua equazione, che non ha soluzioni reali.
Per la terza disequazione non puoi trascurare il denominatore, come ti ha già spiegato speculor: devi portare tutto allo stesso membro, dare denominatore comune (lasciandolo scritto), risolvere le disequazioni N>0 e D>0, riportare le soluzioni sul grafico dei segni e dedurne le zone il cui si ha il segno voluto. Devi inoltre imporre che l'argomento del logaritmo sia positivo. Se trascuriamo tutte queste cose (ma non è lecito) i tuoi calcoli sono giusti, compreso il raccoglimento, ma occhio alla prosecuzione: da $x^2(1-e)<-9e+4$ si ricava $x^2>(-9e+4)/(1-e)$ perché dividiamo entrambi i membri per un numero negativo. Conveniva cambiare tutti i segni prima del raccoglimento.
Si si la questione dei domini l'avevo risolta prima di studiare il segno, mi aspetto che la prof capisca che tutto quel che faccio dopo è nel dominio che ho definito e per il fatto del segno della frazione (numeratore e denominatore) su quello ci sono (a parte qualche distrazione come prima). Per il resto mi sa che devo prestare attenzione ai segni; ricordo sempre di cambiare il verso ma se c'è di mezzo $e$ spesso non ci faccio caso.
Quel $(-9e+4)/(1-e)$ sembra venire positivo quindi posso applicare la radice e prendere i valori interni.
Se fosse venuta una quantità negativa potevo affermare che la disequazione ha soluzioni: "ogni x€R", per il fatto che un numero positivo (quadrato) è sempre maggiore di una quantità negativa?
Accidenti non mi era arrivata la notifica della risposta per mail, per prima cosa grazie mille. Cercherò qualche libro che mi possa aiutare anche se non ho molto tempo prima della data di appello mio malgrado. Ho riportato alcune questioni in rosso.
Non vorrei abusare troppo del forum ma visto che ci sono io mi toglierei anche questo dubbio su un nuovo esercizio:
Ho da capire quando $log(1-x)+|x+1|$ è maggiore o uguale di zero in quanto è tutto messo sotto una radice di indice pari.
Quel che so fare vedendo una cosa del genere è:
-portare il valore assoluto a destra (ovvero $> -|x+1|$
-portare 1 a destra e rendere il termine a sinistra positivo: $x<-e^(-|x+1|)$
Perfetto ho tolto un logaritmo e mi ritrovo una exp, la x in ogi caso non è in un unico membro
BUON HALLOWEEN A TUTTI in ogni caso
Per l'esercizio precedente: vedo con piacere che hai capito e rispondo di sì alle tue domande. Il regolamento però chiede di limitare la lunghezza delle citazioni al minimo indispensabile; per questa volta e dato che sei agli inizi, lasciamo tutto così ma ecco quello che avresti dovuto fare: potevi citare solo la mia ultima frase precedente al tuo primo commento in rosso. Il tuo secondo commento poteva essere introdotto con un semplice "Per quanto riguarda il resto" o simile; volendo potevi anche riportare lì e quotare una qualche altra frase.
Per l'ultimo esercizio non ci sono soluzioni facili ed occorre il metodo grafico: si trova che la disequazione è verificata per $x<=x_0$, in cui $x_0$ è un particolare numero compreso fra zero ed uno. Ritengo possibile che tu abbia riportato solo una parte dell'esercizio e che si potessero usare le altre limitazioni per rendere più facile il calcolo.
Per l'ultimo esercizio non ci sono soluzioni facili ed occorre il metodo grafico: si trova che la disequazione è verificata per $x<=x_0$, in cui $x_0$ è un particolare numero compreso fra zero ed uno. Ritengo possibile che tu abbia riportato solo una parte dell'esercizio e che si potessero usare le altre limitazioni per rendere più facile il calcolo.
Leggevo che non hai gravi problemi con i passi standard dello studio d'una funzione,
a parte nel $I^o$ in cui si studia il segno
(il mio Prof. delle Superiori,secondo il quale "le disequazioni sono il laser dell'Analisi Matematica", t'avrebbe mangiato..
[OT]
Ma è pur vero che avrebbe avuto ragione di farlo,
perché a quel tempo l'insegnamento della Matematica negli I.T.I.S. a specializzazione Informatica s'articolava su sette ore settimanali e non sulle tre che, alla faccia delle figuraccie dei ns allievi a confronto dei pari età del resto d'Europa,
l'hanno ridotta a materia "complementare" di tre ore a settimana,
nelle quali s'ha pure l'ovvia pretesa,stando alle chiarissime indicazioni ministeriali,
di fare un rapido ed esauriente viaggietto dalla Geometria analitica elementare fino alle L-trasformate,
nelle $3*40*3=360$ ore,comprese di laboratorio,che a questo punto costituiranno l'attività didattica nel triennio specialistico..[/OT]):
prova allora a studiare la funzione f avente per legge di definizione il $I^o$ membro della disequazione che temi,
saltando proprio quel passo che comunque ti metterebbe in difficoltà
(e non solo a te,poiché quella disequazione non è risolvibile con metodi elementari..)!
A tal proposito ti dò un consiglio per iniziare,ovvero suddividere $domf$ in $(-oo,-1]$ e $(-1,1)$:
poi,se proprio hai bisogno,fà pure un fischio..
Saluti dal web.
Edit.
@Gianmaria.
Scusami,ma proprio non capisco perché il sistema non m'avverte di eventuali risposte altrui se posto col cellulare:
vero che non dovrei farlo,
essendo in tal caso facile scambiare fischi per fiaschi durante la lettura,
ma il post cui ho risposto aveva poco latex..
a parte nel $I^o$ in cui si studia il segno
(il mio Prof. delle Superiori,secondo il quale "le disequazioni sono il laser dell'Analisi Matematica", t'avrebbe mangiato..
[OT]
Ma è pur vero che avrebbe avuto ragione di farlo,
perché a quel tempo l'insegnamento della Matematica negli I.T.I.S. a specializzazione Informatica s'articolava su sette ore settimanali e non sulle tre che, alla faccia delle figuraccie dei ns allievi a confronto dei pari età del resto d'Europa,
l'hanno ridotta a materia "complementare" di tre ore a settimana,
nelle quali s'ha pure l'ovvia pretesa,stando alle chiarissime indicazioni ministeriali,
di fare un rapido ed esauriente viaggietto dalla Geometria analitica elementare fino alle L-trasformate,
nelle $3*40*3=360$ ore,comprese di laboratorio,che a questo punto costituiranno l'attività didattica nel triennio specialistico..[/OT]):
prova allora a studiare la funzione f avente per legge di definizione il $I^o$ membro della disequazione che temi,
saltando proprio quel passo che comunque ti metterebbe in difficoltà
(e non solo a te,poiché quella disequazione non è risolvibile con metodi elementari..)!
A tal proposito ti dò un consiglio per iniziare,ovvero suddividere $domf$ in $(-oo,-1]$ e $(-1,1)$:
poi,se proprio hai bisogno,fà pure un fischio..
Saluti dal web.
Edit.
@Gianmaria.
Scusami,ma proprio non capisco perché il sistema non m'avverte di eventuali risposte altrui se posto col cellulare:
vero che non dovrei farlo,
essendo in tal caso facile scambiare fischi per fiaschi durante la lettura,
ma il post cui ho risposto aveva poco latex..
Per la domanda a me, non so proprio cosa dirti, anche perché odio il cellulare. Su insistenza dei parenti, cinque anni fa ho capitolato e ne ho comprato uno ma non lo uso. Puoi provare a chiedere nella sezione Questioni tecniche.
Per le disequazioni, io ne ho scoperto l'esistenza solo all'università: nel liceo classico dei miei tempi (e credo anche degli attuali) non si nominavano neppure.
Per le disequazioni, io ne ho scoperto l'esistenza solo all'università: nel liceo classico dei miei tempi (e credo anche degli attuali) non si nominavano neppure.
"giammaria":
Per l'esercizio precedente: vedo con piacere che hai capito e rispondo di sì alle tue domande.
Imparo in fretta
"theras":
Leggevo che non hai gravi problemi con i passi standard dello studio d'una funzione,
a parte nel $I^o$ in cui si studia il segno
(il mio Prof. delle Superiori,secondo il quale "le disequazioni sono il laser dell'Analisi Matematica", t'avrebbe mangiato..
quello che intendevo dire con "non ho problemi con l'analisi" è che a differenza di molta gente che fa tutto a memoria io cerco di capire il concetto di fondo e se domani trovo $-x$ al posto di $x$ non apro un nuovo post, purtroppo faccio confusione con alcuni passaggi o magari non colgo subito il trucchetto necessario per risolvere un esercizio (probabilmente per lacune di scuole superiori come dici te).
Ringrazio ancora giammaria per le risposte immediate e mi scuso per il post troppo lungo.
Ad onor di causa (non sono proprio cretino se dite anche voi che è complicato
) "giammaria":l'esercizio è esattamnete come riportato manca la radice nella formula ma l'avevo scritta in lettere.
Ritengo possibile che tu abbia riportato solo una parte dell'esercizio e che si potessero usare le altre limitazioni per rendere più facile il calcolo.
"giammaria":
Per il punto 2 ottieni $3 sqrt(x^2-1)> -2x^2$ e non puoi elevare a quadrato perché il secondo membro è negativo. Puoi però dire che proprio per questo è minore del primo membro e non occorrono altri calcoli: la soluzione è la limitazione precedente. Aggiungo che hai fatto un errore di calcolo nel risolvere la tua equazione, che non ha soluzioni reali.
Un momento, oggi stavo ripescando questa funzione e ancora non mi sono convinto. Perchè non posso elevare al quadrato una quantita negativa? Da quanto ne so io la potenza accetta qualsiasi numero in entrata
EDIT: non posso perchè elevando al quadrato avrei una quantità positiva e dunque altero la disequazione?
Sì, alteri la disequazione. Ad esempio, $-5<3$ è vera ma elevando a quadrato ottieni $25<9$ che è falsa.
"giammaria":
Sì, alteri la disequazione. Ad esempio, $-5<3$ è vera ma elevando a quadrato ottieni $25<9$ che è falsa.
Ho capito. Accidenti su 100 disequazioni avrei sbagliato 100 volte
la mia mente al più soddisfa le condizioni dei domini (non metto sotto radice un numero negativo ad esempio) ma questa roba non l'avrei mai detta.Grazie ancora.
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