Studio del segno della derivata seconda di funzione goniometrica
Salve a tutti, io ho questa funzione:
$ y = 2sinx - 2sin^2x $ e devo studiarla e rappresentarla.
Nello studio della concavità e dei flessi ho qualche problemuccio, la derivata seconda è:
$ -2sinx - 4cos2x $
sono abbastanza sicuro del risultato perchè ho controllato più volte. Ho qualche problema a studiarne il segno...
Ho pensato bene di sviluppare $ cos2x $ come $ cos^2x - sin^2x $ e di scrivere $ cos^2 x $ come $ 1-sin^2x $ in modo tale da avere $ -2sinx -4(1-2sin^2x) = -2sinx-4+8sin^2x $, e quindi studiare la disequazione:
$4sin^2x - sinx - 2 > 0$
Come devo procedere? Io ho pensato di svolgerla come un'equazione di secondo grado e quindi, nell'equazione associata avrei $ sinx = (1+-sqrt(33))/8 $ risultato un po' strano... se è sbagliato, dove sbaglio?
Nel caso fosse giusto, come devo procedere? Grazie mille in anticipo...
$ y = 2sinx - 2sin^2x $ e devo studiarla e rappresentarla.
Nello studio della concavità e dei flessi ho qualche problemuccio, la derivata seconda è:
$ -2sinx - 4cos2x $
sono abbastanza sicuro del risultato perchè ho controllato più volte. Ho qualche problema a studiarne il segno...
Ho pensato bene di sviluppare $ cos2x $ come $ cos^2x - sin^2x $ e di scrivere $ cos^2 x $ come $ 1-sin^2x $ in modo tale da avere $ -2sinx -4(1-2sin^2x) = -2sinx-4+8sin^2x $, e quindi studiare la disequazione:
$4sin^2x - sinx - 2 > 0$
Come devo procedere? Io ho pensato di svolgerla come un'equazione di secondo grado e quindi, nell'equazione associata avrei $ sinx = (1+-sqrt(33))/8 $ risultato un po' strano... se è sbagliato, dove sbaglio?
Nel caso fosse giusto, come devo procedere? Grazie mille in anticipo...
Risposte
a me viene lo stesso risultato.
la disuguaglianza $f''(x)>0$ è verificata per $sin x < (1-sqrt 33)/8 " "vv" "sin x > (1+sqrt 33)/8$
con l'aiuto della circonferenza goniometrica questo significa che
$-pi -arcsin ((1-sqrt 33)/8) +2k pi < x < arcsin ((1-sqrt 33)/8) +2k pi " "vv$
$vv" " arcsin ((1+sqrt 33)/8) + 2 k pi < x < pi -arcsin ((1+sqrt 33)/8) + 2 k pi$
spero sia chiaro. ciao.
la disuguaglianza $f''(x)>0$ è verificata per $sin x < (1-sqrt 33)/8 " "vv" "sin x > (1+sqrt 33)/8$
con l'aiuto della circonferenza goniometrica questo significa che
$-pi -arcsin ((1-sqrt 33)/8) +2k pi < x < arcsin ((1-sqrt 33)/8) +2k pi " "vv$
$vv" " arcsin ((1+sqrt 33)/8) + 2 k pi < x < pi -arcsin ((1+sqrt 33)/8) + 2 k pi$
spero sia chiaro. ciao.
Ciao, grazie della risposta! Potresti provare a spiegarmi perchè hai separato i risultati in quel modo? Comunque devo studiare la funzione dell'intervallo $ ]0; 2 pi[ $ ... in questi casi come devo comportarmi?
se consideri la circonferenza goniometrica, ci sono 4 valori degli angoli nel primo giro.
sono a due a due corrispondenti, con le ordinate uguali.
se prendi la retta $y=(1+sqrt33)/8$ trovi due angoli ... uno del primo quadrante e uno del secondo, tra loro supplementari.
se prendi la retta $y=(1-sqrt33)/8$ trovi due angoli ... uno del terzo quadrante e uno del quarto. se devi considerare l'intervallo $[0,2pi]$, i due valori di terzo e quarto quadrante vanno modificati aggiungendo $2pi$, oltre che togliere a tutti $+2kpi$.
se $sinx$ deve essere minore del valore negativo, allora x deve essere compreso tra i due angoli di III e IV quadrante (ricorda ad esempio che il seno è minimo a $3pi/2$ ...)
se $sinx$ deve essere maggiore del valore positivo, allora x deve essere compreso tra i due angoli di I e II quadrante (ricorda ad esempio che il seno è massimo a $pi/2$ ...)
ok?
sono a due a due corrispondenti, con le ordinate uguali.
se prendi la retta $y=(1+sqrt33)/8$ trovi due angoli ... uno del primo quadrante e uno del secondo, tra loro supplementari.
se prendi la retta $y=(1-sqrt33)/8$ trovi due angoli ... uno del terzo quadrante e uno del quarto. se devi considerare l'intervallo $[0,2pi]$, i due valori di terzo e quarto quadrante vanno modificati aggiungendo $2pi$, oltre che togliere a tutti $+2kpi$.
se $sinx$ deve essere minore del valore negativo, allora x deve essere compreso tra i due angoli di III e IV quadrante (ricorda ad esempio che il seno è minimo a $3pi/2$ ...)
se $sinx$ deve essere maggiore del valore positivo, allora x deve essere compreso tra i due angoli di I e II quadrante (ricorda ad esempio che il seno è massimo a $pi/2$ ...)
ok?
Ho capito perfettamente! 
ottimo, grazie mille
ottimo, grazie mille
prego!
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