Studio dei numeri complessi, calcolo trigonometrico e polare
bene bene, ci addentriamo nei meandri dell'immaginario e del suscettibile 
per ora non scrivo esercizi ma espongo solo i miei studi, se avete aggiunte da fare sono ben accolte; non so se in una sola volta riesco a scrivere tutto.
Definizione
Ad una prima analisi mi sembra di capire che i numeri complessi sono stati introdotti per risolvere il problema dei radicali di segno negativo e indice pari del tipo $root()(-4)$ dove nei numeri reali $R$ questo risultato non è possibile. Stessa cosa per la soluzione delle equazioni di grado superiore al primo e di grado pari in cui la discriminante è negativa; quindi si è ampliato l'insieme dei numeri in $R$ ai numeri complessi $C$. altre motivazioni al momento non mi vengono.
Si introduce quindi il concetto di unità immaginaria:
$root()(-4)$ può essere visto come $root()(4)*root()(-1)$
$root()(-1)$ è l'unità immaginaria = $i$
per definizione $root()(-1)=i$ mentre $i^2=-1$ per la proprietà inversa di un radicale; quindi quando $i^2$ compare in un calcolo lo si sostituisce con $-1$
Le proprietà delle espressioni algebriche in $R$ sono rispettate anche in $C$, valgono anche le proprietà delle potenze, delle somme e delle moltiplicazioni, in generale valgono regole algebriche ed ogni volta che si incontra $i^2$ lo si sostituisce con $-1$. In seguito indicherò quale esempio.
Unica differenza sta nel fatto che il risultato è riconducibile ad una forma del tipo $x+iy$ dove $x$ è la parte reale $R$ e $iy$ la parte immaginaria
Il numero complesso è quindi nella forma binomiale $"numero reale" +"numero immaginario"$ ad esempio $5+3i$ e non è possibile ridurlo ulteriormente.
Aggiungo una piccola precisazione dicendo che $i$ non è una variabile o un parametro come nei normali calcoli algebrici a cui gli si deve assegnare o trovare un valore come soluzione, è una unità immaginaria con il valore e le definizioni indicate in precedenza!
$0+iy=iy" numero immaginario"$
$root()(-4)$ non ha significato in $R$ ma in $C$ vale $root()(4)*root()(-1)=0+2i=2i$
$root()(-2)$ non ha significato in $R$ ma in $C$ vale $root()(-2)=root()(2*(-1))=root()(2)*root()(-1)=0+ìroot()(2)=ìroot()(2)$
$root()(-2)*root()(-2)!=root()((-2)*(-2))$ ma è uguale a: $(iroot()(2))*(iroot()(2))=i^2(root()(2))^2=-1*2=-2$
$root()((-2)*(-2))=root()(4)=2$
in caso vi sia un paramentro $a$, se $a$ è un numero reale positivo, in $C$ assume significato l'espressione $root()(-a)=iroot()(a)$ quindi leggendo il libro sembra sia buona norma (operando nei numeri $C$) trasformare $root()(-a)=iroot()(a)$ per evitare le regole di calcolo dei radicali in queste situazioni.
due numeri complessi in cui cambia solo il segno si dicono coniugati; $x+iy$ e $x-iy$ sono coniugati.
Equazioni di secondo grado.
In una Eq di II° a coefficienti reali ha sempre 2 soluzioni:
1) reali e distinte, se il discriminante è $"> 0 positivo"$
2) reali coincidenti, se il discriminante è $"= 0 nullo"$
3) complesse coniugate, se il discriminante è $"< 0 negativo"$
In particolare in $C$ una Eq di II° grado ha sempre 2 soluzioni.
$(-b+-root()(-n))/(2a)=x^(1,2)=(-b+-iroot()(n))/(2a)$
dove $n$ è un numero positivo e $-n$ un numero negativo
questa prima parte penso di averla finita quindi se ci sono aggiunte da definire dite pure. C'è solo un discorso riguardo l'ordinamento dei numeri e la validità dei segni in $C(+,*)$ che spero di trovare la soluzione più avanti.
per ora non scrivo esercizi ma espongo solo i miei studi, se avete aggiunte da fare sono ben accolte; non so se in una sola volta riesco a scrivere tutto.
Definizione
Ad una prima analisi mi sembra di capire che i numeri complessi sono stati introdotti per risolvere il problema dei radicali di segno negativo e indice pari del tipo $root()(-4)$ dove nei numeri reali $R$ questo risultato non è possibile. Stessa cosa per la soluzione delle equazioni di grado superiore al primo e di grado pari in cui la discriminante è negativa; quindi si è ampliato l'insieme dei numeri in $R$ ai numeri complessi $C$. altre motivazioni al momento non mi vengono.
Si introduce quindi il concetto di unità immaginaria:
$root()(-4)$ può essere visto come $root()(4)*root()(-1)$
$root()(-1)$ è l'unità immaginaria = $i$
per definizione $root()(-1)=i$ mentre $i^2=-1$ per la proprietà inversa di un radicale; quindi quando $i^2$ compare in un calcolo lo si sostituisce con $-1$
Le proprietà delle espressioni algebriche in $R$ sono rispettate anche in $C$, valgono anche le proprietà delle potenze, delle somme e delle moltiplicazioni, in generale valgono regole algebriche ed ogni volta che si incontra $i^2$ lo si sostituisce con $-1$. In seguito indicherò quale esempio.
Unica differenza sta nel fatto che il risultato è riconducibile ad una forma del tipo $x+iy$ dove $x$ è la parte reale $R$ e $iy$ la parte immaginaria
Il numero complesso è quindi nella forma binomiale $"numero reale" +"numero immaginario"$ ad esempio $5+3i$ e non è possibile ridurlo ulteriormente.
Aggiungo una piccola precisazione dicendo che $i$ non è una variabile o un parametro come nei normali calcoli algebrici a cui gli si deve assegnare o trovare un valore come soluzione, è una unità immaginaria con il valore e le definizioni indicate in precedenza!
$0+iy=iy" numero immaginario"$
$root()(-4)$ non ha significato in $R$ ma in $C$ vale $root()(4)*root()(-1)=0+2i=2i$
$root()(-2)$ non ha significato in $R$ ma in $C$ vale $root()(-2)=root()(2*(-1))=root()(2)*root()(-1)=0+ìroot()(2)=ìroot()(2)$
$root()(-2)*root()(-2)!=root()((-2)*(-2))$ ma è uguale a: $(iroot()(2))*(iroot()(2))=i^2(root()(2))^2=-1*2=-2$
$root()((-2)*(-2))=root()(4)=2$
in caso vi sia un paramentro $a$, se $a$ è un numero reale positivo, in $C$ assume significato l'espressione $root()(-a)=iroot()(a)$ quindi leggendo il libro sembra sia buona norma (operando nei numeri $C$) trasformare $root()(-a)=iroot()(a)$ per evitare le regole di calcolo dei radicali in queste situazioni.
due numeri complessi in cui cambia solo il segno si dicono coniugati; $x+iy$ e $x-iy$ sono coniugati.
Equazioni di secondo grado.
In una Eq di II° a coefficienti reali ha sempre 2 soluzioni:
1) reali e distinte, se il discriminante è $"> 0 positivo"$
2) reali coincidenti, se il discriminante è $"= 0 nullo"$
3) complesse coniugate, se il discriminante è $"< 0 negativo"$
In particolare in $C$ una Eq di II° grado ha sempre 2 soluzioni.
$(-b+-root()(-n))/(2a)=x^(1,2)=(-b+-iroot()(n))/(2a)$
dove $n$ è un numero positivo e $-n$ un numero negativo
questa prima parte penso di averla finita quindi se ci sono aggiunte da definire dite pure. C'è solo un discorso riguardo l'ordinamento dei numeri e la validità dei segni in $C(+,*)$ che spero di trovare la soluzione più avanti.
Risposte
La rappresentazione grafica dei numeri complessi: segue definizione
Ogni numero complesso $z=x+iy$ lo si identifica con una coppia ordinata di numeri reali; la sua parte reale $x$ ed il coefficiente della parte immaginaria $y$; può quindi essere rappresentato da un vettore $v$ del piano applicato all'origine delle componenti $(x;y)$.
numero complesso $z=(x+iy)$ vettore $v=(x;y)$
Il piano si chiama piano complesso di Argand-Gauss
Sull'asse delle ordinate $(y)$ ci sarà il coefficiente del numero immaginario (chiamato asse immaginario)
Sull'asse delle ascisse $(x$) ci sarà il numero reale (chiamato asse reale)
ovviamente la rappresentazione è sia nella direzione di numeri negativi sia n quella dei numeri positivi.
lo si può rappresentare sia come vettore sia come i punti estremi delle coordinate $(x,y)$
continuerò in seguito..
Ogni numero complesso $z=x+iy$ lo si identifica con una coppia ordinata di numeri reali; la sua parte reale $x$ ed il coefficiente della parte immaginaria $y$; può quindi essere rappresentato da un vettore $v$ del piano applicato all'origine delle componenti $(x;y)$.
numero complesso $z=(x+iy)$ vettore $v=(x;y)$
Il piano si chiama piano complesso di Argand-Gauss
Sull'asse delle ordinate $(y)$ ci sarà il coefficiente del numero immaginario (chiamato asse immaginario)
Sull'asse delle ascisse $(x$) ci sarà il numero reale (chiamato asse reale)
ovviamente la rappresentazione è sia nella direzione di numeri negativi sia n quella dei numeri positivi.
lo si può rappresentare sia come vettore sia come i punti estremi delle coordinate $(x,y)$
continuerò in seguito..
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