Studio completo di funzione - Calcolo limite
Ciao.
Sto cercando di studiare la funzione
DOMINIO
Il dominio della funzione è
SIMMETRIE E PERIODICITÀ
Non ha particolari simmetrie e periodicità. Infatti:
POSITIVITÀ
Svolgo la seguente disequazione:
Quindi la funzione è definita in
[math]y
Sto cercando di studiare la funzione
[math]\frac{x-1}{x+1}[/math]
. Ma ho delle difficoltà nella determinazione degli asintoti. Mi dareste gentilmente una mano?DOMINIO
Il dominio della funzione è
[math]\mathbb{R}-\left\{-1\right\}[/math]
(poiché il denominatore si annulla se [math]x = -1[/math]
).SIMMETRIE E PERIODICITÀ
Non ha particolari simmetrie e periodicità. Infatti:
[math]f(x) \neq f(-x) \rightarrow \frac{x-1}{x+1} \neq \frac{-x-1}{-x+1}[/math]
(La funzione non è pari)[math]f(-x) \neq -f(x) \rightarrow \frac{-x-1}{-x+1} \neq -\frac{x-1}{x+1}[/math]
(La funzione non è dispari)POSITIVITÀ
Svolgo la seguente disequazione:
[math]\frac{x-1}{x+1} > 0[/math]
[math]N > 0 \rightarrow x-1>0 \rightarrow x>1[/math]
[math]D > 0 \rightarrow x+1>0 \rightarrow x>-1[/math]
Quindi la funzione è definita in
[math]y>0[/math]
per [math]x1[/math]
[math]y
Risposte
Il limite puoi calcolarlo in maniera "intuitiva".
Il numeratore e', a prescindere dall'intorno preso (sinistro o destro), -2.
Pertanto il numeratore e' negativo.
Il denominatore, per x-->-1 da destra, sara'
Infatti se ha un numero infinitamente prossimo a -1, ma comunque piu' grande di -1, aggiungi 1, ottieni un numero infinitamente prossimo a zero ma piu' grande di 0
(Se vuoi un consiglio, in maniera intuitiva, sostituisci a
A questo punto il limite sara'
Analogamente con -1 da sinistra otterrai che il limite tende a
Il numeratore e', a prescindere dall'intorno preso (sinistro o destro), -2.
Pertanto il numeratore e' negativo.
Il denominatore, per x-->-1 da destra, sara'
[math] -1^++1 = 0^+ [/math]
Infatti se ha un numero infinitamente prossimo a -1, ma comunque piu' grande di -1, aggiungi 1, ottieni un numero infinitamente prossimo a zero ma piu' grande di 0
(Se vuoi un consiglio, in maniera intuitiva, sostituisci a
[math] -1^+ [/math]
ad esempio, -0,99 ed esegui la somma. Otterrai 0,01 che conferma un numero leggermente piu' grande di 0).A questo punto il limite sara'
[math] - \infty [/math]
dal momento che hai una frazione [math] \frac{(-)}{(+)} [/math]
al cui numeratore hai un numero finito e al denominatore un valore prossimo a zero (il rapporto pertanto sara' infinito)Analogamente con -1 da sinistra otterrai che il limite tende a
[math] + \infty [/math]
Grazie mille. Quindi esiste un asintoto verticale in -1 e la funzione è simile ad una iperbole (o sbaglio?), dato che il valore del limite è
Pian piano modificherò il post precedente così cercherò di fare un grafico preciso della funzione.
[math]\pm \infty[/math]
. I limiti li dovrei rivedere, perché ho sempre qualche difficoltà.Pian piano modificherò il post precedente così cercherò di fare un grafico preciso della funzione.
Dal momento che l'equazione canonica dell'iperbole e'
direi che la funzione e' proprio un iperbole
(con a=1, b=1, c=1, d=-1)
Il limite a sinistra dell'asintoto e' +infinito, a destra e' -infinito.
Esistono asintoti orizzontali.
[math] y= \frac{ax+b}{cx+d} [/math]
direi che la funzione e' proprio un iperbole
(con a=1, b=1, c=1, d=-1)
Il limite a sinistra dell'asintoto e' +infinito, a destra e' -infinito.
Esistono asintoti orizzontali.
BIT5:
Dal momento che l'equazione canonica dell'iperbole e'
[math] y= \frac{ax+b}{cx+d} [/math]
direi che la funzione e' proprio un iperbole
(con a=1, b=1, c=1, d=-1)
Il limite a sinistra dell'asintoto e' +infinito, a destra e' -infinito.
Esistono asintoti orizzontali.
Ah, giusto! Non l'ho notato subito perché mi ricordavo la forma
[math]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\pm1[/math]
.
Certo, cambia l'equazione a seconda dell'orientamento dell'iperbole..
L'equazione canonica che ricordi tu, e' orientata secondo gli assi (ovvero ha gli asintoti simmetrici rispetto all'asse y)
Quella canonica che ho scritto io, ha gli asintoti paralleli agli assi cartesiani.
Le due equazioni sono frutto di una rototraslazione generica della stessa funzione :pp
L'equazione canonica che ricordi tu, e' orientata secondo gli assi (ovvero ha gli asintoti simmetrici rispetto all'asse y)
Quella canonica che ho scritto io, ha gli asintoti paralleli agli assi cartesiani.
Le due equazioni sono frutto di una rototraslazione generica della stessa funzione :pp
Ma allora devo aver sbagliato a svolgere la disequazione... perché mi risulta che
y>0 per x1
Quindi la funzione (le parti in cui la funzione non può esistere sono in grigio) dovrebbe esistere nelle parti bianche del seguente grafico:
E in questo schema immaginerei più una parabola che un iperbole... dove sta l'errore?
y>0 per x1
Quindi la funzione (le parti in cui la funzione non può esistere sono in grigio) dovrebbe esistere nelle parti bianche del seguente grafico:
E in questo schema immaginerei più una parabola che un iperbole... dove sta l'errore?
perche' hai sbagliato?
il primo ramo dell'iperbole sta tutto nel primo spazio bianco ("parte" da 1 (asintoto orizzontale) e va a + infinito per x--> -1
il secondo parte da -1, taglia l'asse y e passando per il punto (0,1) va a +1 (asintoto orizzontale.)
La funzione e' sempre crescente.
il primo ramo dell'iperbole sta tutto nel primo spazio bianco ("parte" da 1 (asintoto orizzontale) e va a + infinito per x--> -1
il secondo parte da -1, taglia l'asse y e passando per il punto (0,1) va a +1 (asintoto orizzontale.)
La funzione e' sempre crescente.
Ah, vero! Ho pure scritto le intersezioni con gli assi... :dozingoff
Ora però dovrei trovare i massimi e i minimi (relativi e assoluti) della funzione. Per trovarli devo calcolare la derivata della funzione stessa.
Quindi, se non erro...
E adesso devo risolvere la disequazione
Ma perché per trovare i minimi e i massimi di una funzione devo risolvere la disequazione della derivata prima della funzione?
Ora però dovrei trovare i massimi e i minimi (relativi e assoluti) della funzione. Per trovarli devo calcolare la derivata della funzione stessa.
Quindi, se non erro...
[math]D[\frac{x-1}{x+1}] = \frac{2}{(x+1)^2}[/math]
E adesso devo risolvere la disequazione
[math]\frac{2}{(x+1)^2}>0[/math]
Ma perché per trovare i minimi e i massimi di una funzione devo risolvere la disequazione della derivata prima della funzione?
La derivata prima e' la funzione che esprime l'andamento dei coefficienti angolari delle rette tangenti alla funzione.
Pertanto trovare quando la derivata prima e' positiva, significa evidenziare gli intervalli in cui i coefficienti angolari delle rette tangenti sono positivi.
Tutte le rette con coefficiente angolare positivo sono parallele alle rette che , passanti per l'origine, stanno nel I e III quadrante.
E come puoi notare, se la retta tangente alla funzione ha pendenza positiva, significa che la funzione stessa ha un andamento crescente (ovvero e' "inclinata" come detto sopra)
Studiando la derivata prima, pertanto, hai in evidenza anche i punti in cui le rette "invertono" la pendenza che sono pertanto punti di massimo e minimo (relativi o assoluti) proprio perche' in questi punti (a tangente 0) la funzione inverte l'andamento.
Attenzione che i punti di massimo e minimo hanno derivata prima = 0 , ma non e' altrettanto vero che se un punto di una funzione ha tangente zero, allora questo e' un punto di massimo/minimo (potrebbe trattarsi infatti di un flesso a tangente orizzontale..)
Pertanto trovare quando la derivata prima e' positiva, significa evidenziare gli intervalli in cui i coefficienti angolari delle rette tangenti sono positivi.
Tutte le rette con coefficiente angolare positivo sono parallele alle rette che , passanti per l'origine, stanno nel I e III quadrante.
E come puoi notare, se la retta tangente alla funzione ha pendenza positiva, significa che la funzione stessa ha un andamento crescente (ovvero e' "inclinata" come detto sopra)
Studiando la derivata prima, pertanto, hai in evidenza anche i punti in cui le rette "invertono" la pendenza che sono pertanto punti di massimo e minimo (relativi o assoluti) proprio perche' in questi punti (a tangente 0) la funzione inverte l'andamento.
Attenzione che i punti di massimo e minimo hanno derivata prima = 0 , ma non e' altrettanto vero che se un punto di una funzione ha tangente zero, allora questo e' un punto di massimo/minimo (potrebbe trattarsi infatti di un flesso a tangente orizzontale..)
Grazie per la spiegazione!
Quindi per determinare se è presente un massimo o un minimo devo studiare la derivata prima... se la funzione prima decresce e poi cresce ( \/ ) allora avrà un minimo in quel punto, viceversa se prima cresce e poi descresce ( /\ ) avrà un massimo.
Provo a studiare il segno della derivata prima della funzione.
Quindi per determinare se è presente un massimo o un minimo devo studiare la derivata prima... se la funzione prima decresce e poi cresce ( \/ ) allora avrà un minimo in quel punto, viceversa se prima cresce e poi descresce ( /\ ) avrà un massimo.
Provo a studiare il segno della derivata prima della funzione.
[math]\frac{2}{(x+1)^2}>0[/math]
[math]N>0 \rightarrow 2>0 \forall x \in \mathbb{R}[/math]
[math]D>0 \rightarrow (x+1)^2>0 \rightarrow \forall x \in \mathbb{R}[/math]
con [math]x \neq -1[/math]
Hai sbagliato il segno al denominatore :P
la derivata come avevi scritto prima è :
la derivata come avevi scritto prima è :
[math]D = \frac{2}{(x+1)^2}[/math]
ed è sempre maggiore di 0, quindi la tua funzione è crescente
romano90:
Hai sbagliato il segno al denominatore :P
la derivata come avevi scritto prima è :[math]D = \frac{2}{(x+1)^2}[/math]ed è sempre maggiore di 0, quindi la tua funzione è crescente
Errore di distrazione. Grazie! :P
Lo so, infatti l'avevi scritta giusta prima :p
Comunque fai attenzione, perche' quando hai una disequazione
(ovvero un binomio elevato ad esponente pari)
Questa e' SEMPRE verificata tranne nel punto
Risolvendola come l'hai impostata tu, sbagli, perche' un valore al quadrato non e' MAI negativo!
[math] (x \pm a)^{2n} > 0 [/math]
(ovvero un binomio elevato ad esponente pari)
Questa e' SEMPRE verificata tranne nel punto
[math] x= \mp a [/math]
Risolvendola come l'hai impostata tu, sbagli, perche' un valore al quadrato non e' MAI negativo!
Ok, vi sembra corretto tutto lo studio della funzione? Ho dimenticato qualche cosa, o sbagliato, ecc.?
E' giusto
di solito la fai la derivata seconda nello studio delle funzioni?
o forse l'hai fatta e non l'ho vista io
di solito la fai la derivata seconda nello studio delle funzioni?
o forse l'hai fatta e non l'ho vista io
Sì, per determinare i flessi... ma poiché non c'è alcun estremante mi sembra inutile farla... o sbaglio?
si per flessi e concavità, credo sia inutile hai ragione, anche se io la facevo sempre perché la prof era un po' fiscale...
penso sia tutto giusto
penso sia tutto giusto
Grazie mille
e di che, hai fatto tutto te XD
magari fossero tutti come te :)
magari fossero tutti come te :)
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