Studiare serie con logaritmo e arctg

[refranco]

ciao,
mi potete aiutare con questo esercizio

Si discuta la convergenza della seguente serie:

[math]\sum_{n=1}^{\infty }(-1)^{n}\left [ log \left ( 1+arctg \frac{1}{n} \right )\right ]^{2}[/math]

grazie .

[mc2]

[math]S_1=\sum_{n=1}(-1)^n\left[\log(1+\mbox{arctan}\frac{1}{n})\right]^2[/math]

1) Considera la serie dei moduli:

[math]S_m=\sum_{n=1}\left[\log(1+\mbox{arctan}\frac{1}{n})\right]^2[/math]

2) trova una serie S_2 :

[math]S_2=\sum_nf(n)[/math]

tale che

[math]\lim_{n\to \infty}\frac{[\log(1+\mbox{arctan}\frac{1}{n})]^2}{f(n)}=1[/math]

S_2 devi invertartela, ma non devi cercare chissa` che cosa: e` facile... e` la cosa piu` ovvia!

3) Criterio del confronto: S_m ed S_2 hanno lo stesso carattere...

eccetera

[refranco]

Scusami ma non sto riuscendo a capire con quale serie dovrei fare
il confronto.

se mi puoi aiutare, per favore.
grazie.

[mc2]

Devi capirla tu, sforzati... altrimenti non riuscirai mai a fare un esercizio da solo!

Suggerimento: prova a sviluppare in serie di Taylor e vedi quale e` il termine dominante...

[refranco]

ci provo.
abbiamo che:

[math]\left[\log(1+\mbox{arctan}\frac{1}{n})\right]^2> \left[\log(1+\mbox{arctan}\frac{1}{n+1})\right]^2[/math]

essendo

[math]\left[\log(1+\mbox{arctan}\frac{1}{n})\right]>0\, \, \forall n>1[/math]

si ha:

[math](1+\mbox{arctan}\frac{1}{n})>(1+\mbox{arctan}\frac{1}{n+1})\, \, \, \forall n[/math]

quindi

[math]\lim_{n \to\infty } log(1+\mbox{arctan}\frac{1}{n})=0[/math]

pertanto la serie è convergente.

è giusto?
fammi sapere.
grazie.