Studiare $1/(x-2)+log(x-1)$

[ramarro1]

Buongiorno, stavo facendo questo studio di funzione, in realtà l'esercizio chiede l'insieme di definizione, i limiti e la monotonia. Poi di disegnare il grafico....però come faccio a disegnare il grafico senza fare lo studio del segno? Ci sono delle cose di questo studio di funzione che non so fare.
$1/(x-2)+log(x-1)$
lo scrivo come
$(1+(x-2)log(x-1))/(x-2)$
INSIEME DI DEFINIZIONE
$x>1$
$x-2!=0$
$(1;2)V(2;+infty)$
INTERSEZIONE CON GLI ASSI
Non so farla perchè io ho fatto cosi:
$N:1+(x-2)log(x-1)=0$
$y=0$
$(x-2)log(x-1)=-1$
$log(x-1)=(-1)/(x-2)$
poi però ho pensato che non posso semplificare il denominatore perchè c'è la $x$ al denominatore quindi non posso farlo.
Non so come fare in poche parole
STUDIO DEL SEGNO
anche li mi intrippo come sopra...
LIMITI
$lim_(x->1)=-infty$
$lim_(x->2)=-infty$
$lim_(x->2)=+infty$
$lim_(x->+infty)=+infty$
DERIVATA
$(-3+(x^2-2x)log(x-1)-(x-2)log(x-1))*(x-2)^2/(x-1)$

Cmq io mi sono fermato qui perchè senza studio del segno non posso cancellare alcune parti del grafico superflue....Ninete cè poco da dire aspetto una vostra risposta, io lo studio del segno non lo so fare con questa funzione magari voi si
Grazie
Cordiali saluti

[axpgn]

Disegna le due funzioni da cui è composta e ragiona sulla loro somma ...

[ramarro1]

Allora 1/(x-2) se $x=2$ non rispetta il dominio....
poi l altra somiglia a $f=logx$ solo che è di $1$ piu sotto

[axpgn]

Sì, ma disegnale tutte e due e restringendo il dominio alla funzione originale ...

Sono così ...


Com'è la somma di queste due funzioni? Studiala per intervalli ... dove una è maggiore dell'altra o vicino agli estremi ecc.

[ramarro1]

non so che cosa fare, l'unica cosa che mi viene in mente è fare lo studio del segno delle 2 funzioni e poi fondere insieme i risultati.
Cioè:
$1/(x-2)>=0$
$x>=2$
Grafico negativo da $(1;2)$, positivo da $(2;+infty)$

prendo ora l altra
$log(x-1)>0$
$(x-1)>e^0$
$x>2$
poi facendo il grafico viene come quello sopra.
FUSIONE DEI GRAFICI
sempre positivi

[axpgn]

Premesso che mi sono perso cosa devi trovare ( ) dal grafico si vede che le due funzioni sono entrambe negative tra $1$ e $2$ e sono entrambe positive oltre $2$; perciò la loro somma sarà negativa tra $1$ e $2$ e sarà positiva oltre $2$. Chiaro fin qui?
Vediamo adesso come potrebbe essere il grafico della loro somma. Analizziamolo separatamente nei due intervalli.

Intervallo $1 All'estremo $1$ la somma delle funzioni tende a $-infty$ (somma di $-infty$ con $1$); stessa cosa all'estremo $2$: la funzione anche qui tende a $-infty$ perché somma di $-infty$ e zero. Andando da un estremo all'altro la funzione aumenta fino all'incrocio tra le due dove tocca il suo massimo (ma sempre con valore negativo pari al doppio del valore della funzione in quel punto) per poi calare nuovamente verso $-infty$.
Prova tu con l'altro intervallo ... $x>2$.

Cordialmente, Alex

[mazzarri1]

Ramarro, ho fatto un pezzo del tuo studio di funzione... non faccio tutta la derivata seconda perchè già so che mi imbartano in calcoli apocalittici che posso solo sbagliare... la derivata prima che fai mi sembra sbagliata, è molto più semplice... deriva la funzione in due parti così come la scrivi nel titolo del topic, ci metti due secondi... viene fuori una banale equazione di secondo grado con due soluzioni... la funzione ha un max e un min semplici da calcolare e comincia a fare il disegno con i limiti che hai scritto e sono giusti... ti accorgi subito che non può mai essere nulla

Per studiare gli zeri di certe funzioni non si può procedere in maniera classica, sono troppo difficili... bisogna usare il teorema di esistenza degli zeri. Si trova "a naso" un intervallo (a,b) in cui la funzione è continua e tale che
$ f(a) f(b) < 0 $
e in quell'intervallo sei sicuro che esiste almeno uno zero... poi usi una qualsiasi formula ricorsiva per trovarlo con buona approssimazione, molto usata quella di Newton che in 3-4 passaggi ti trova lo zero.
ma sono cose da usare solo quando hai sentore che lo zero ci sia.
In questo caso direi proprio che non c'è la funzione è negativa tra 1 e 2 e positiva oltre il 2 se fai la derivata giusta e la disegni lo vedi subito
ciao

[ramarro1]

scusate, devo ancora rispondere a axpgn: allora provo io con l intervallo $(2^+;+infty)$
a) in $x=2^+$ abbiamo la somma $+infty+0=+infty$
b) in $x=+infty$ abbiamo la somma $+infty+0=+infty$
ok quindi posso dire che nell'intervallo $(1;2)$ posso eliminare la parte del grafico sopra dato che la somma delle funzioni è negativa(per fare lo studio del segno intendo dire...)
da $(2^+;+infty)$elimino la parte sotto...
cosi dicevi di fare?ho capito giusto?
Grazie
Cordiali saluti

[axpgn]

Sì (più o meno ...)

[ramarro1]

ma come piu o meno, se è sbagliato o se non funziona il metodo fatemi sapere, cioè devo imparare se nn va bene ditemelo, il 'piu o meno' mi fa restare irrequieto

[axpgn]

Il "più o meno" è riferito alla tua esposizione che per me non è sempre chiarissima ...
Purtroppo, scrivere non è la stessa cosa che parlare ... e quindi è anche facile non comprendersi ...
Lo studio del segno è OK: tra $1$ e $2$ è negativa, per valori maggiori di $2$ è positiva ... ma per questo basta "guardare" le due funzioni, nell'intervallo $1 Ma per disegnare la funzione questo non è sufficiente, vanno fatti ulteriori ragionamenti ...
E poi ... cosa significa "elimino la parte di sopra (o di sotto)" ? Non è chiara ma è anche inutile perché se guardi bene nell'intervallo $1 Il consiglio di essere più formale nelle esposizioni NON è una pedanteria ma è per tua convenienza: sforzarti di essere chiaro e preciso, ti aiuterà anche nel comprendere meglio le cose (oltreché ad essere più controllato ...). IMHO.

Cordialmente, Alex

[ramarro1]

va bene ti chiedo scusa, domani proverò a dare una risposta piu comprensibile perchè ora è tardi e nn riuscirei, mi dispiace disturbare ma nn faccio apposta, credevo solo che si capisse.
Grazie
Cordiali saluti

[axpgn]

Ma non devi chiedere scusa, non disturbi affatto ... altrimenti non ti risponderemmo proprio, non ti pare?
Non mi pareva di essere stato "rude" ma se così ti è sembrato, mi dispiace, ma preferisco dirti quello che penso in modo da aiutarti (almeno spero ... )

Cordialmente, Alex

[ramarro1]

va bene:)grazie tante come semprre, intanto pubblico il grafico fatto finora, in grigio è stata eliminata la parte che non 'rispetta' l'insieme di definizione perchè l'insieme di definizione è $(1,2)V(2,+infty)$ in rosso ho eliminato quella parte che facendo lo studio del segno risultava essere negativa.

[axpgn]

Beh, allora per esser precisi (scusami ma non ce la faccio ) dovresti fare in grigio anche le rette $x=1$ e $x=2$ invece che in verde ...
Cordialmente, Alex

[ramarro1]

ok ora, poco a poco faccio il grafico, ecco qui come è diventato,i piccoli trattini marroni che ho messo in piu rispetto l'altro grafico coincidono con i limiti.
A questo punto potrei gia adesso disegnare il grafico ma devo almeno calcolare la derivata prima. Naturalmente aspetto sempre le vostre osservazioni.
Cordiali saluti

[axpgn]

Certamente con le derivate è meglio, questa funzione però si può disegnare anche con semplici considerazioni (come ho accennato nei post precedenti).

Cordialmente, Alex

[ramarro1]

Va là, ho fatto anche la derivata:
$(-(x-1)+(x-2)^2)/[(x-1)(x-2)^2]$
$N:-x-1+x^2-4x+4>=0$
i due risultati sono $x1,x2$ rispettivamente $(5-sqrt13)/2;(5+sqrt13)/2$
$D:(x-1)(x^2-4x+4)$
$x>=1Vx!=2$
faccio il grafico

[axpgn]

Attento che hai sbagliato un segno nel NUM della derivata ... perciò i risultati sono diversi

[ramarro1]

Si è vero, cè uno sbaglio al numeratore scritto sopra, purtroppo però non ho tempo di modificare il grafico della crescenza o decrescenza, rimetto però questo.....il numero in giallo in alto che è stato tagliato è$(5+sqrt5)/2$

[axpgn]

No. Perché? Rileggi il mio post precedente ... ed inoltre fai due conti; quanto vale $(5-sqrt(13))/2$ ? Meno di uno ... quindi quel numero non va bene ...
Il grafico in sé è quasi giusto (non sono parabole anche se assomigliano ...) il ramo che va a $+infty$ è più basso ...

Cordialmente, Alex