Strettamente

[Steven11]

Salve a tutti.
Devo sapere una cosa abbastanza banale, mi serve una definizione.
Che differenza c'è tra un valore positivo e un valore strettamente positivo?
Cosa apporta lo strettamente?
Grazie
buon pomeriggio.

[cozzataddeo]

"zorn":La parte $P$ degli elementi positivi di un anello ordinato $(A,+,*,<=)$ si può definire assiomaticamente, dicendo

1) $P$ è stabile rispetto a $+,*$

2) Tricotomia: $AA a in A$ si verifica uno e uno solo dei seguenti tre casi:

$a in P, a=0, (-a) in P$

Perciò, si conviene che lo zero di un anello non sia positivo (altrimenti non è più possibile la che non si verifichi simultaneamente $a in P, -a in P$

Ottimo.
Mi ricordavo vagamente un'imostazione assiomatica di questo tipo dalle prime settimane di Analisi I. Mi pare che la mia prof li chiamò gli "Assiomi del positivo".

[Fioravante Patrone1]

al di là di una definizione formale (vedi zorn), il termine "strettamente positivo" viene usato per eliminare il rischio (piccolo) che, dicendo "positivo", uno possa interpretarlo come $x \ge 0$

per questo motivo io ho l'abitudine di dire, ad esempio: "strettamente crescente", sempre per evitare ambiguità. Basterebbe dire "crescente", ma se ci aggiungo "strettamente":
1. non faccio male a nessuno
2. se uno capisce ugualmente "debolmente crescente", peggio per lui

[zorn1]

Sì Cozza Taddeo infatti è una possibilità, e si vede che altro che non sono che gli elementi >0.

[Sk_Anonymous]

"zorn":ups è vero, infatti ∞+qualcosa=∞..

beh non proprio, se studierai analisi non standard... poi $+oo -oo$ non è definito... anche se è assorbente rispetto alla somma... Bisognerebbe chiarire bene il concetto dell'infinito ma ci dilungheremmo troppo

In quali facoltà è previsto lo studio dell'analisi non standard?
Trova applicazioni pratiche?

[zorn1]

X Sturmtruppen:

Purtroppo non è ancora diffusa come meriterebbe... più che applicazioni pratiche semplifica molto l'analisi, in particolare calcolo integro-differenziale.

Ti metto un link dove ci sono ottimi appunti a riguardo:

http://www.unipv.it/webphilos_lab/dossena/

[Fioravante Patrone1]

"Sturmentruppen":
In quali facoltà è previsto lo studio dell'analisi non standard?
Trova applicazioni pratiche?

Per la seconda domanda, una risposta stringata è: "no"

[TomSawyer1]

E una risposta meno stringata? Da quello che mi ricordo, l'analisi non-standard riesce a dimostrare molti teoremi (non solo elementari) classici dell'analisi degli spazi di Hilbert in modi completamente nuovi ed in maniera rigorosa (mantendo il concetto intuitivo di infinitesimo). Ma forse ci riferiamo a concetti diversi di "applicazioni pratiche".

[Fioravante Patrone1]

"TomSawyer":E una risposta meno stringata? Da quello che mi ricordo, l'analisi non-standard riesce a dimostrare molti teoremi (non solo elementari) classici dell'analisi degli spazi di Hilbert in modi completamente nuovi ed in maniera rigorosa (mantendo il concetto intuitivo di infinitesimo). Ma forse ci riferiamo a concetti diversi di "applicazioni pratiche".

A me non è mai capitato di vedere un'applicazione "pratica". Dico proprio nessuna.
Posso citare una versione della dim della congettura di Edgeworth che usa l'analisi nonstandard. Ma è economia matematica.

Quanto all'interpretazione, scommetto che ho interpretato correttamente il pensiero di Sturmentruppen. Le applicazioni che tu citi, e quella che ho menzionato, spero che nessuno le voglia qualificare come "pratiche".

Detto questo, rispetto un pezzo di matematica seria, come tanti altri.

[TomSawyer1]

Io mi riferivo ad applicazioni pratiche all'interno della matematica, che esistono..

Comunque, cosa la fa sembrare economia matematica quella dimostrazione? Mi ha incuriosito il paragone .

[zorn1]

Io mi riferivo ad applicazioni pratiche all'interno della matematica, che esistono..
---

Già, per l'appunto... e poi è comunque più snella e intuitiva, non se ne può più di quegli $epsilon-delta$ su! Al di là delle applicazioni o meno!

[Fioravante Patrone1]

vabbé, si vede che abbiamo una concezione diversa di cosa voglia dire il termine "pratico"
e, soprattutto, rispondevo a Sturmentruppen


@TomSawyer:
"Comunque, cosa la fa sembrare economia matematica quella dimostrazione?"
Non mi riferivo alla dimostrazione. Mi riferivo al problema "applicato" affrontato. Che non "sembra", ma "è" economia matematica (= uso di strumenti matematici sofisticati, ed eventualmente costruzione di nuovi, per risolvere problemi che trovano la loro giustificazione originaria in problemi economia, teorici o applicati che siano) .
La congettura di Edgeworth riguarda la connessione fra equilibrio in un mercato e sua efficienza (in termini "moderni", riguarda la coincidenza fra l'equilibrio economico generale e le allocazioni che stanno nel nucleo [TdG] per una "economia replicata"). La dimostrazione di questa congettura è dovuta essenzialmente a Debreu e ad Aumann (che introdusse a questo scopo lo "integrale di Aumann" per una multiapplicazione misurabile...). Di questa congettura Anderson diede una dimostrazione usando l'analisi non standard.

EDIT: riformulata e precisata la parte iniziale della risposta a TomSawyer

[Sk_Anonymous]

Una quantità può essere positiva in senso stretto (>0) o in senso lato (≥0), dire "positivo" e basta si intende in senso stretto, ma non c'è niente di male nel sottolinearlo.

[Fioravante Patrone1]

benvenuta nel forum!
doppiamente, visto che condividi il mio punto di vista

[cozzataddeo]

"amelia":Una quantità può essere positiva in senso stretto (>0) o in senso lato (≥0), dire "positivo" e basta si intende in senso stretto, ma non c'è niente di male nel sottolinearlo.

Certo, rimane il fatto che è appunto una sottolineatura di carattere esclusivamente psicologico. Dal punto di vista della correttezza matematica sarebbe sufficiente dire "positivo".