Strano passaggio matematico

[dRyW]

Salve,

stavo dando un occhiata qui e non ho capito come ha ricavato da

$(2sqrt(n)+n-2)/n-> 1+2/sqrt(n)$

minuto 37.29

[Gi81]

Veramente ha scritto che $(2sqrtn +n-2)/n < 1+2/sqrtn$
Questo ti torna?

[dRyW]

oops hai ragione, ho corretto!

Comunque non mi interessava la disequazione in se ma il ragionamento adottato per ricavare la seconda frazione dalla prima

[_prime_number]

Basta che raccogli $n$ a numeratore e ricordi che $1/n= o (1/(\sqrt{n}))$ per $n>>1$.

Paola

[dRyW]

non ci arrivo

[_prime_number]

$1/n$ è un termine trascurabile rispetto a $n^{-1/2}$ per $n$ grande. Lo vedi facendo il limite:
$\lim_{n\to \infty} (1/n)/(n^{-1/2})=0$
perciò lo puoi "ignorare".

Paola

[Gi81]

Oppure: $(2sqrtn +n-2)/n=(n-2)/n +(2sqrtn)/n$
Ora,
1) $(n-2)/n<1$

2) $(2sqrtn)/n= (2sqrtn)/(sqrtn sqrtn) = 2/(sqrtn)$

quindi $(n-2)/n +(2sqrtn)/n= (n-2)/n +2/(sqrtn) < 1+2/(sqrtn)$

[dRyW]

abbiate pazienza perchè ho poca esperienza e molte lacune, allora:

$(2sqrtn +n-2)/n$

se si esclude il $-2$ viene $(n)/n +(2sqrtn)/n$

se ho capito bene $(2sqrtn)/n= (2sqrtn)/(sqrtn sqrtn)$ è ottenuto dalla semplificazione di $sqrtn$

ma se $n=sqrt(n)sqrt(n)...n-2$ allora $1+2/(sqrtn +n-2)$

oltretutto $sqrtn sqrtn=sqrtn^2$ ?

[Gi81]

"dRyW":se ho capito bene $(2sqrtn)/n= (2sqrtn)/(sqrtn sqrtn)$ è ottenuto dalla semplificazione di $sqrtn$

Esattamente

"dRyW":ma se $n=sqrt(n)sqrt(n)...n-2$ allora $1+2/(sqrtn +n-2)$

Questa non l'ho capita molto... $n= sqrt(n)sqrt(n)$. E basta. Non $n= sqrt(n)sqrt(n)...n-2$

"dRyW":oltretutto $sqrtn sqrtn=sqrtn^2$ ?

Certamente, è una delle proprietà delle potenze: $sqrtn sqrtn =(sqrtn)^2 =n$

[dRyW]

$n=sqrt(n)sqrt(n)...n-2$ è il modo in cui è stato considerato $n$ nel video (come progressione geometrica)

quindi se $sqrtn sqrtn=sqrtn^2$ dovrebbe essere $(sqrtn^2+n-2)/n$ nel video invece le ha considerate come somma

in definitiva $1<=root(n)(n)=(sqrtn^2+n-2)/n$

[Gi81]

No. Non ha scritto quello . Ha scritto
\[n = \sqrt{n} \cdot \sqrt{n} \cdot \overbrace{ 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdots 1}^{n -2 \text{ volte } } \]

[Gi81]

In sintesi, si vuole provare che $ rootn n < 1 +2/sqrtn$

Come fare? Si sfrutta il fatto che la media geometrica è minore (o, al limite, uguale) della media aritmetica.
Cioè si sfrutta il fatto che, dati $a_1, a_2, a_3, ... ,a_n$ numeri tutti positivi, si ha

\[\sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot \cdots \cdot a_n} \leq \frac{a_1 +a_2 +a_3 +\cdots +a_n}{n}\]

Ora, quali sono i nostri $a_1, a_2,..., a_n$? Sono $sqrtn, sqrtn, 1,1,1,...,1 $ (ci sono $n-2$ uni).


Si ha certamente che
\[ \sqrt[n]{n}= \sqrt[n]{\sqrt{n} \cdot \sqrt{n} \cdot \overbrace{ 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdots 1}^{n -2 \text{ volte } } }\]
Notare che il secondo membro è la media geometrica degli elementi $sqrtn, sqrtn, 1,1,1,...,1$.
Per la proprietà "media geometrica minore o uguale di media aritmetica" si ha:
\[
\sqrt[n]{\sqrt{n} \cdot \sqrt{n} \cdot \overbrace{ 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdots 1}^{n -2 \text{ volte } } } \leq
\frac{\sqrt{n}+\sqrt{n} +\overbrace{1+1+\cdots +1}^{n-2}}{n}
\]

E quanto fa il secondo membro dell'ultima disuguaglianza?
Vale $(2sqrtn +n-2)/n$, che è minore (l'ho scritto due post fa) di $1+2/sqrtn$.

Ecco, combinando il tutto otteniamo $rootn n < 1+2/sqrtn$.

Spero di essere stato sufficientemente chiaro. Se hai dubbi, chiedi pure

[dRyW]

mannaggia, e si che nel video lo diceva chiaramente, io invece pensavo che avesse riportato la media geometrica quando invece era aritmetica, mi dispiace averti fatto scrivere tutto, ma alla fine mi è chiaro GRAZIE