Spiegazione procedimento su valor medio
L’esercizio chiede: dopo aver verificato le ipotesi, applicare il teorema del valor medio alla seguente funzione, nel rispettivo intervallo.
$f(x) = (x^2-1)$/(x+3) in [-1;2]
Non ho ben capito come procedere per verificare le ipotesi… Potreste spiegarmi il procedimento?
Grazie mille
$f(x) = (x^2-1)$/(x+3) in [-1;2]
Non ho ben capito come procedere per verificare le ipotesi… Potreste spiegarmi il procedimento?
Grazie mille
Risposte
Che cosa dice il teorema?
se non hai il libro sottomano controlla qui http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di ... _intuitiva
se non hai il libro sottomano controlla qui http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di ... _intuitiva
Dovrei forse già applicare la formula f(b)-f(a)/(b-a) = f'(c) ?
Purtroppo non abbiamo fatto esercizi su questo argomento e non so bene come procedere...
Purtroppo non abbiamo fatto esercizi su questo argomento e non so bene come procedere...
Ciao, la funzione deve essere continua nell'intervallo $[-1,2]$ e derivabile nell'aperto $(-1,2)$. La nostra $$f(x) = \frac{x^2-1}{x+3}$$ è continua perché composizione di funzioni polinomiali e presenta un solo punto "problematico" per $x=-3$ che però non cade nell'intervallo dato. Calcoliamo la sua derivata: $$\frac{x^2+6x+1}{(x+3)^2}$$ Anche questa ha un unico punto problematico che però non appartiene all'intervallo.
Ora puoi proseguire nell'applicazione della formula.
Ora puoi proseguire nell'applicazione della formula.
Quindi adesso applico la formula f(b)-f(a)/(b-a), sostituendo a e b nella funzione.
Poi il risultato che ottengo dovrà essere f'(c)?
Poi il risultato che ottengo dovrà essere f'(c)?
Sì esatto. Poi dovrai trovare quel $c$ che fa assumere quel particolare valore alla derivata.
Ok, provo a risolverlo. Grazie mille ancora
Ho trovato f'(c) = 1/5
Per ricavare c, è sbagliato uguagliare 1/5 a f'(x)?
Per ricavare c, è sbagliato uguagliare 1/5 a f'(x)?
Ovviamente no! 
In questo modo trovo x, che sarebbe la c, giusto?
Sì esatto.
Aggiungo un grafico:
Si vede chiaramente che abbiamo individuato il punto $P$ tale che la tangente alla curva passante per il punto risulta parallela alla secante passante per gli estremi dell'intervallo.
Si vede chiaramente che abbiamo individuato il punto $P$ tale che la tangente alla curva passante per il punto risulta parallela alla secante passante per gli estremi dell'intervallo.
Ho trovato x1 = -3 + rad10 e x2 = -3 - rad10. L'unica accettabile dovrebbe essere x1 perché x2 non è compreso nell'intervallo [-1,2]...
E infatti è proprio così!
PS. Per favore cerca di usare le formule per scrivere qui sul forum
PS. Per favore cerca di usare le formule per scrivere qui sul forum
Si, scusate ho scritto di fretta
Grazie mille ancora!
Ho un altro caso da risolvere con il valore medio, con g(x) = $ sqrt(x+3) $ in [-3,1]
Per capire se g(x) è continua in [-3,1], posso sostituire i valori dell'intervallo [-3,1] e vedere se non ottengo una forma indeterminata?
Per la derivata, ho trovato g'(x) = $ (1 )/(2sqrt(x+3) ) $. È giusto che è derivabile in ]-3,1[ , ma che il valore -3 non va bene?
Grazie mille ancora!
Ho un altro caso da risolvere con il valore medio, con g(x) = $ sqrt(x+3) $ in [-3,1]
Per capire se g(x) è continua in [-3,1], posso sostituire i valori dell'intervallo [-3,1] e vedere se non ottengo una forma indeterminata?
Per la derivata, ho trovato g'(x) = $ (1 )/(2sqrt(x+3) ) $. È giusto che è derivabile in ]-3,1[ , ma che il valore -3 non va bene?
Per la continuità puoi semplicemente dire che la radice è di per sé una funzione continua e che in questo caso non ci sono problemi perché tutti i valori dell'intervallo sono $>= -3$. Per la derivabilità direi che hai fatto giusto: non è derivabile in $x=-3$ ma questo non è un problema perché Lagrange richiede che la funzione sia derivabile nell'intervallo aperto.
Puoi procedere e applicare la formula.
Puoi procedere e applicare la formula.
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