Spiegazione procedimento massimi e minimi relativi
1) È data la funzione reale f(x)=(a*lnx^2+b)/x^2. Come posso trovare i valori di a e di b in modo che la curva di equazione y=f(x) abbia un estremo relativo in P(1,2)?
2) Calcolare le coordinate dei punti di massimo e di minimo relativo delle funzioni:
a) f(x) = -3x^4 +8x^3+18x^2+9
Potreste spiegarmi il procedimento per risolvere i due problemi? Grazie
2) Calcolare le coordinate dei punti di massimo e di minimo relativo delle funzioni:
a) f(x) = -3x^4 +8x^3+18x^2+9
Potreste spiegarmi il procedimento per risolvere i due problemi? Grazie
Risposte
Ciao, per favore cerca di utilizzare le formule.
Comunque nel primo devi chiederti: "quali caratteristiche deve avere $P$?"
1. deve appartenere alla curva
2. deve annullare la sua derivata prima
Imponi queste condizioni e dovremmo esserci.
Per il secondo: calcoli la derivata prima della funzione e studi il suo segno, ricordando la relazione che c'è tra segno della derivata prima e crescenza/decrescenza della funzione. Può risultare utile tracciare lo schema con le frecce verso l'alto e il basso che evidenziano l'andamento della funzione.
Comunque nel primo devi chiederti: "quali caratteristiche deve avere $P$?"
1. deve appartenere alla curva
2. deve annullare la sua derivata prima
Imponi queste condizioni e dovremmo esserci.
Per il secondo: calcoli la derivata prima della funzione e studi il suo segno, ricordando la relazione che c'è tra segno della derivata prima e crescenza/decrescenza della funzione. Può risultare utile tracciare lo schema con le frecce verso l'alto e il basso che evidenziano l'andamento della funzione.
Grazie mille
Ho provato a risolverli ma avrei ancora qualche domanda...
Per 1), è giusto sostituire le coordinate di P(1,2) in $y= (a ln(x^2+b)) / x^2$, al posto della x e della y?
E per trovare la derivata prima, calcolo direttamente f'(x) senza aver prima sostituito le coordinate del punto P?
Per il 2), ho trovato $f'(x) = -12x^3+24x^2+36x$, quindi f'(x)< 0 .
Adesso per ricavare le coordinate devo utilizzare la formula per risolvere le equazioni (ad es. di secondo grado)?
Grazie
Per 1), è giusto sostituire le coordinate di P(1,2) in $y= (a ln(x^2+b)) / x^2$, al posto della x e della y?
E per trovare la derivata prima, calcolo direttamente f'(x) senza aver prima sostituito le coordinate del punto P?
Per il 2), ho trovato $f'(x) = -12x^3+24x^2+36x$, quindi f'(x)< 0 .
Adesso per ricavare le coordinate devo utilizzare la formula per risolvere le equazioni (ad es. di secondo grado)?
Grazie
Per il primo: $$\begin{cases}2=\frac{a\ln(1)+b}{1} \\ y' = \frac{a\frac{2x}{x^2}x^2-2x\left[a\ln(x^2)+2\right]}{x^4} = 0\end{cases}$$ Dalla prima si ottiene subito $b=2$ mentre dalla seconda, sostituendo l'ascissa di $P$, si ricava immediatamente $a=2$.
PS. Ma quella $b$ è fuori o dentro il log? Perché nel primo testo che avevi scritto sembrava fuori mentre ora la metti dentro...
Per il secondo devi studiare il segno di $$-12x^3+24x^2+36x$$ che si può riscrivere come $$12x\left(-x^2+2x+3\right)$$
PS. Ma quella $b$ è fuori o dentro il log? Perché nel primo testo che avevi scritto sembrava fuori mentre ora la metti dentro...
Per il secondo devi studiare il segno di $$-12x^3+24x^2+36x$$ che si può riscrivere come $$12x\left(-x^2+2x+3\right)$$
Grazie mille, la b penso sia fuori dal log (nel foglio non si capisce molto bene...)
Quindi per il secondo non mi resta che trovare la x e la y?
Quindi per il secondo non mi resta che trovare la x e la y?
Per il secondo devi studiare il segno di quell'espressione, quindi risolvere ad esempio $$12x\left(-x^2+2x+3\right) > 0$$ Che tra l'altro si può scrivere come $$-12x\left(x-3\right)\left(x+1\right) > 0$$
Grazie mille.
Però per il primo problema, y' , nell'ultima parte del numeratore, non dovrebbe essere $ -2x[aln(x^2)+b] $ ?
Però per il primo problema, y' , nell'ultima parte del numeratore, non dovrebbe essere $ -2x[aln(x^2)+b] $ ?
Sì ma dalla prima equazione si ricavava immediatamente $b=2$ e allora l'ho sostituito subito. Comunque hai ragione. 
Ah oky, però risolvendolo io ottengo a=3...
Comunque, sempre per il secondo esercizio, ho risolto $ -12x(x-3)*(x+1)>0 $ ,
ed ottengo x1 = 3 e x2 = -1.
Poi li ho sostituiti in $ f'(x) = 12x(-x^2+2x+3) $ , ed ottengo y1 = 648 e y2 = -24
Nella formula dei massimi e dei minimi si ha però (xM, f(xM))...
Ho sbagliato a sostituire x1 e x2 in f'(x)? Dovevo sostituirli in f(x)?
Comunque, sempre per il secondo esercizio, ho risolto $ -12x(x-3)*(x+1)>0 $ ,
ed ottengo x1 = 3 e x2 = -1.
Poi li ho sostituiti in $ f'(x) = 12x(-x^2+2x+3) $ , ed ottengo y1 = 648 e y2 = -24
Nella formula dei massimi e dei minimi si ha però (xM, f(xM))...
Ho sbagliato a sostituire x1 e x2 in f'(x)? Dovevo sostituirli in f(x)?
Certo: devi sostituirli in $f(x)$.
Come mai ottieni $a=3$? Hai $$a2x-2x\left[a\ln(x^2)+2\right]=0$$ $$2x\left(a-a\ln(x^2)-2\right) = 0$$ Se ora sostituisci $x=1$ ottieni $$2(a-2)=0 \quad\rightarrow\quad a=2$$
Come mai ottieni $a=3$? Hai $$a2x-2x\left[a\ln(x^2)+2\right]=0$$ $$2x\left(a-a\ln(x^2)-2\right) = 0$$ Se ora sostituisci $x=1$ ottieni $$2(a-2)=0 \quad\rightarrow\quad a=2$$
Si hai ragione, era un errore di calcolo. Grazie!
Quindi per (xM, f(xM)) bisogna utilizzare la derivata solo per ricavare xM?
Quindi per (xM, f(xM)) bisogna utilizzare la derivata solo per ricavare xM?
"Lara_16":
Quindi per (xM, f(xM)) bisogna utilizzare la derivata solo per ricavare xM?
Esatto!
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