Spiegazione frazioni con numeri irrazionali
allora le ho praticamente capite però non ho capito come faccio quando devo moltiplicare cioè come trasformare la cosa
per esempio in questa:
3+ radice quadrata di 2 meno radice quadrata di 5
fratto
radice quadrata di 5 + radice quadrata di 2 meno 1
il tutto mi da alla seconda fase:
3+ radice quadrata di 2 meno radice quadrata di 5
fratto
radice quadrata di 5 + radice quadrata di 2 meno 1
il tutto moltiplicato per
radice quadrata di 5 + radice quadrata di 2 + 1
fratto
radice quadrata di 5 + radice quadrata di 2 + 1
da qui nn so andare avanti perchè nn ho capito come sommare moltiplicare dividere o sotrarre tra loro le radici
per esempio in questa:
3+ radice quadrata di 2 meno radice quadrata di 5
fratto
radice quadrata di 5 + radice quadrata di 2 meno 1
il tutto mi da alla seconda fase:
3+ radice quadrata di 2 meno radice quadrata di 5
fratto
radice quadrata di 5 + radice quadrata di 2 meno 1
il tutto moltiplicato per
radice quadrata di 5 + radice quadrata di 2 + 1
fratto
radice quadrata di 5 + radice quadrata di 2 + 1
da qui nn so andare avanti perchè nn ho capito come sommare moltiplicare dividere o sotrarre tra loro le radici
Risposte
Pensa alle radici che hai come a dei monomi:
radice quadrata di 5 = a
radice quadrata di 2 = b
1 = c
avrai pertanto al denominatore a + b - c
Come hai detto bene tu, quando al denominatore si hanno numeri irrazionali, quali radici, occorre razionalizzare, cioè moltiplicare sia il numeratore che il denominatore di una stessa quantità (applicando la proprietà transitiva) che permetta di togliere le radici dal denominatore.
Siccome bisogna togliere le radici dal denominatore, è lo stesso denominatore ad "indicare" per cosa dover moltiplicare.
In questo caso, avendo tre termini al denominatore, occorrono più passaggi di razionalizzazione: non si può, cioè, con una sola razionalizzazione arrivare al risultato!
Consideriamo separatamente (per facilitare la comprensione) il numeratore e il denominatore della frazione:
denominatore: si ha a + b - c ---> si può pensare come primo termine della somma per differenza a più termini (prodotto notevole) ---> la prima "parentesi" è a + b - c mentre la seconda come hai detto tu è a + b +c --->ora, per svilupparla, si pensa come una somma per differenza a due temini, dove il primo sarà (a + b) considerato insieme e il secondo sarà c ---> si applica così la regola che dice il quadrato del primo termine meno il quadrato del secondo ---> sarà (a+b)^2 - c^2 ---> sviluppato da a^2 + 2ab + b^2 - c^2
con i coefficienti irrazionali che si hanno inizialmente, si opera alla stessa maniera:
(radice di 5 + radice di 2 - 1) * (radice di 5 + radice di 2 + 1) =
= (radice di 5 + radice di 2)^2 - 1 =
= 7 + 2*radice di 10 - 1 =
= 6 + 2*radice di 10
numeratore: si opera il prodotto:
(3 + radice di 2 + radice di 5) * (radice di 5 + radice di 2 + 1)
Dopo aver effettuato il primo passaggio (spero di essere stato chiaro), si procede ad un ulteriore razionalizzazione del denominatore; infatti si ora come ora si ha ancora la radice al denominatore: pertanto è necessario un altro passaggio.
6 + 2*radice di 10 =
si raccoglie un 2
2*(3 + radice di 10)=
si moltiplica tutto per radice di 10 - 3 (la radice di 10 è maggiore di 3 perciò nella sottrazione è il primo termine da cui si sottrae il 3)
2*(3+radice di 10)*(radice di 10 - 3) =
si applica il prodotto notevole somma per differenza
2*(10-9) =
2*1 =
2 ---> questo è il denominatore
Adesso prova a sviluppare i conti anche al numeratore. Per ragioni ovvie non li ho indicati io adesso...se hai problemi dimmi!
Spero di essere stato chiaro...e di non aver sbagliato nulla!
radice quadrata di 5 = a
radice quadrata di 2 = b
1 = c
avrai pertanto al denominatore a + b - c
Come hai detto bene tu, quando al denominatore si hanno numeri irrazionali, quali radici, occorre razionalizzare, cioè moltiplicare sia il numeratore che il denominatore di una stessa quantità (applicando la proprietà transitiva) che permetta di togliere le radici dal denominatore.
Siccome bisogna togliere le radici dal denominatore, è lo stesso denominatore ad "indicare" per cosa dover moltiplicare.
In questo caso, avendo tre termini al denominatore, occorrono più passaggi di razionalizzazione: non si può, cioè, con una sola razionalizzazione arrivare al risultato!
Consideriamo separatamente (per facilitare la comprensione) il numeratore e il denominatore della frazione:
denominatore: si ha a + b - c ---> si può pensare come primo termine della somma per differenza a più termini (prodotto notevole) ---> la prima "parentesi" è a + b - c mentre la seconda come hai detto tu è a + b +c --->ora, per svilupparla, si pensa come una somma per differenza a due temini, dove il primo sarà (a + b) considerato insieme e il secondo sarà c ---> si applica così la regola che dice il quadrato del primo termine meno il quadrato del secondo ---> sarà (a+b)^2 - c^2 ---> sviluppato da a^2 + 2ab + b^2 - c^2
con i coefficienti irrazionali che si hanno inizialmente, si opera alla stessa maniera:
(radice di 5 + radice di 2 - 1) * (radice di 5 + radice di 2 + 1) =
= (radice di 5 + radice di 2)^2 - 1 =
= 7 + 2*radice di 10 - 1 =
= 6 + 2*radice di 10
numeratore: si opera il prodotto:
(3 + radice di 2 + radice di 5) * (radice di 5 + radice di 2 + 1)
Dopo aver effettuato il primo passaggio (spero di essere stato chiaro), si procede ad un ulteriore razionalizzazione del denominatore; infatti si ora come ora si ha ancora la radice al denominatore: pertanto è necessario un altro passaggio.
6 + 2*radice di 10 =
si raccoglie un 2
2*(3 + radice di 10)=
si moltiplica tutto per radice di 10 - 3 (la radice di 10 è maggiore di 3 perciò nella sottrazione è il primo termine da cui si sottrae il 3)
2*(3+radice di 10)*(radice di 10 - 3) =
si applica il prodotto notevole somma per differenza
2*(10-9) =
2*1 =
2 ---> questo è il denominatore
Adesso prova a sviluppare i conti anche al numeratore. Per ragioni ovvie non li ho indicati io adesso...se hai problemi dimmi!
Spero di essere stato chiaro...e di non aver sbagliato nulla!
ho capito però scusa potresti dirmi come si moltiplicano le radici diverse?
perchè quello del denominatore adesso lo capito però non so nel numeratore come moltiplicarli se diversi, mi pare che escano tipo radici "accavallate" :cry ma nn ho capito come si fanno?
grazie:cry
perchè quello del denominatore adesso lo capito però non so nel numeratore come moltiplicarli se diversi, mi pare che escano tipo radici "accavallate" :cry ma nn ho capito come si fanno?
grazie:cry
Per moltiplicare dei radicali è necessario sapere che i coefficienti dei radicali si moltiplicano coi i coefficienti e le radici con le radici.
Se ho
3 radice quadrata di 5 * 6 radice quadrata di 2
considero e moltiplico separatamente i coefficienti (3 e il 6) e le radici (di 5 e di 2)
3*6 = 18
radice quadrata di 5 * radice quadrata di 2 = radice quadrata di 10 (cioè il prodotto di due radicali con lo stesso indice è un radicale avente per indice lo stesso indice e per radicando il prodotto dei radicandi).
In definitiva, si deduce:
3 radice quadrata di 5 * 6 radice quadrata di 2 = 18*radice quadrata di 10
Se ho, invece, dei radicali con indice diverso da moltiplicare occorre fare il minimo comune indice prima di qualsiasi prodotto. Ecco un esempio:
radice quadrata di 5 * radice cubica di 2
in questo caso si considerano prima di tutto gli indici (2 e 3) e si fa il minimo comune indice (non è altro che il minimo comune multiplo tra i due indici):
m.c.m tra 2 e 3 è 6
dopo aver individuato il minimo comune indice delle radice, si scrive un'unica radice avente come indice quello trovato:
radice sesta di...
...e come radicando il prodotto dei radicandi con esponenti appropriati.
Infatti, come in una qualsiasi espressione, dopo aver scritto una frazione avente al denominatore, il minimo comune denominatore tra le frazioni presenti, si passa a "sistemare il numeratore": si divide il minimo comun denominatore per il denominatore della prima frazione e poi lo si moltiplica per il numeratore di quella stessa frazione...e si ripete per tutte le altre così.
Per i radicali è la medesima procedura: dopo aver individuato il minimo comune indice, lo si divide con l'indice della prima radice e poi lo si moltiplica per l'esponente del radicando del primo radicale...fai bene attenzione che si moltiplica per l'esponente!! Facendo l'esempio chiarificatore di prima, si ha
radice sesta di...
...e come radicando si scrive un prodotto tra i radicandi, i cui esponenti sono stati sistemati secondo il metodo prima spiegato (il primo radicando è 5, con esponente 1; l'indice della prima radice è 2; 6:2=3; 3*1=3; si scrive così il 5 elevato a 3 ----- il secondo è 2, con esponente 1; l'indice della seconda radice è 3; 6:3=2; 2*1=2; si scrive così il 2 elevato a 2)
perciò si ha:
radice sesta di (5^3*2^2)
In definitiva si ha
radice quadrata di 5 * radice cubica di 2 = radice sesta di (5^3*2^2)
ovviamente si fanno poi i calcoli tra 5^3*2^2, ma non li ho indicati perchè tanto non erano necessari per capire come si procede nel prodotto di radicali, in quanto era solo un esempio.
Se ho
3 radice quadrata di 5 * 6 radice quadrata di 2
considero e moltiplico separatamente i coefficienti (3 e il 6) e le radici (di 5 e di 2)
3*6 = 18
radice quadrata di 5 * radice quadrata di 2 = radice quadrata di 10 (cioè il prodotto di due radicali con lo stesso indice è un radicale avente per indice lo stesso indice e per radicando il prodotto dei radicandi).
In definitiva, si deduce:
3 radice quadrata di 5 * 6 radice quadrata di 2 = 18*radice quadrata di 10
Se ho, invece, dei radicali con indice diverso da moltiplicare occorre fare il minimo comune indice prima di qualsiasi prodotto. Ecco un esempio:
radice quadrata di 5 * radice cubica di 2
in questo caso si considerano prima di tutto gli indici (2 e 3) e si fa il minimo comune indice (non è altro che il minimo comune multiplo tra i due indici):
m.c.m tra 2 e 3 è 6
dopo aver individuato il minimo comune indice delle radice, si scrive un'unica radice avente come indice quello trovato:
radice sesta di...
...e come radicando il prodotto dei radicandi con esponenti appropriati.
Infatti, come in una qualsiasi espressione, dopo aver scritto una frazione avente al denominatore, il minimo comune denominatore tra le frazioni presenti, si passa a "sistemare il numeratore": si divide il minimo comun denominatore per il denominatore della prima frazione e poi lo si moltiplica per il numeratore di quella stessa frazione...e si ripete per tutte le altre così.
Per i radicali è la medesima procedura: dopo aver individuato il minimo comune indice, lo si divide con l'indice della prima radice e poi lo si moltiplica per l'esponente del radicando del primo radicale...fai bene attenzione che si moltiplica per l'esponente!! Facendo l'esempio chiarificatore di prima, si ha
radice sesta di...
...e come radicando si scrive un prodotto tra i radicandi, i cui esponenti sono stati sistemati secondo il metodo prima spiegato (il primo radicando è 5, con esponente 1; l'indice della prima radice è 2; 6:2=3; 3*1=3; si scrive così il 5 elevato a 3 ----- il secondo è 2, con esponente 1; l'indice della seconda radice è 3; 6:3=2; 2*1=2; si scrive così il 2 elevato a 2)
perciò si ha:
radice sesta di (5^3*2^2)
In definitiva si ha
radice quadrata di 5 * radice cubica di 2 = radice sesta di (5^3*2^2)
ovviamente si fanno poi i calcoli tra 5^3*2^2, ma non li ho indicati perchè tanto non erano necessari per capire come si procede nel prodotto di radicali, in quanto era solo un esempio.
Nella tua frazione da razionalizzare:
il denominatore ti ho già spiegato come trovarlo ---> alla fine di tutti i passaggi veniva 2
per il numeratore, si moltiplica il numeratore iniziale dato per altri termini che dipendono dalla strada che si prende per razionalizzare il denominatore (per cosa moltiplicare numeratore e denominatore dipende, infatti, dal tipo di razionalizzazione che si sceglie).
Nel nostro caso si aveva inizialmente
3 + radice quadrata di 2 meno radice quadrata di 5
per sintetizzare sottointendo la scrittura quadrata nelle radici, tanto
radice quadrata di 2 = radice di 2
Dalla prima razionalizzazione si era deciso di moltiplicare per radice di 5 + radice di 2 + 1, cioè
(3 + radice di 2 meno radice di 5) * (radice di 5 + radice di 2 + 1)
si esegue la moltiplicazione come se fosse un prodotto tra monomi, cioè il primo con il primo, il primo con il secondo...e così via...e si ottiene:
3 radice di 5 + 3 radice di 2 + 3 + radice di 10 + 2 + radice di 2 - 5 - radice di 10 - radice di 5
come se ci fossero scritti dei monomi, si può operare la semplificazione di termini opposti (+ radice di 10 e - radice di 10) e sommare i radicali simili (sono simili se hanno stesso radicale), perciò si avrà:
2 radice di 5 + 4 radice di 2 - 2
si raccoglie ora un due:
2 *(radice di 5 + 2 radice di 2 -1)
Dalla seconda razionalizzazione si deve moltiplicare per radice di 10 - 3:
2 *(radice di 5 + 2 radice di 2 -1) * (radice di 10 - 3)
si opera il prodotto tra i termini nelle parentesi:
2 * (radice di 50 - 3 radice di 5 + 2 radice di 20 - 6 radice di 2 - radice di 10 + 3)
scomponendo i radicandi ed estraendo dove possibile, risulta:
2 * (5 radice di 2 - 3 radice di 5 + 4 radice di 5 - 6 radice di 2 - radice di 10 + 3)
si sommano i termini simili presenti:
2 * (3 + radice di 5 - radice di 2 - radice di 10)
Risulta alla fine:
2 * (3 + radice di 5 - radice di 2 - radice di 10)
fratto
2
si semplifica il 2 e si ottiene il risultato:
3 + radice di 5 - radice di 2 - radice di 10
Spero di essere stato chiaro anche adesso e non troppo contorto nella spiegazione ;)...e naturalmente spero siano giusti i calcoli :lol!!!
il denominatore ti ho già spiegato come trovarlo ---> alla fine di tutti i passaggi veniva 2
per il numeratore, si moltiplica il numeratore iniziale dato per altri termini che dipendono dalla strada che si prende per razionalizzare il denominatore (per cosa moltiplicare numeratore e denominatore dipende, infatti, dal tipo di razionalizzazione che si sceglie).
Nel nostro caso si aveva inizialmente
3 + radice quadrata di 2 meno radice quadrata di 5
per sintetizzare sottointendo la scrittura quadrata nelle radici, tanto
radice quadrata di 2 = radice di 2
Dalla prima razionalizzazione si era deciso di moltiplicare per radice di 5 + radice di 2 + 1, cioè
(3 + radice di 2 meno radice di 5) * (radice di 5 + radice di 2 + 1)
si esegue la moltiplicazione come se fosse un prodotto tra monomi, cioè il primo con il primo, il primo con il secondo...e così via...e si ottiene:
3 radice di 5 + 3 radice di 2 + 3 + radice di 10 + 2 + radice di 2 - 5 - radice di 10 - radice di 5
come se ci fossero scritti dei monomi, si può operare la semplificazione di termini opposti (+ radice di 10 e - radice di 10) e sommare i radicali simili (sono simili se hanno stesso radicale), perciò si avrà:
2 radice di 5 + 4 radice di 2 - 2
si raccoglie ora un due:
2 *(radice di 5 + 2 radice di 2 -1)
Dalla seconda razionalizzazione si deve moltiplicare per radice di 10 - 3:
2 *(radice di 5 + 2 radice di 2 -1) * (radice di 10 - 3)
si opera il prodotto tra i termini nelle parentesi:
2 * (radice di 50 - 3 radice di 5 + 2 radice di 20 - 6 radice di 2 - radice di 10 + 3)
scomponendo i radicandi ed estraendo dove possibile, risulta:
2 * (5 radice di 2 - 3 radice di 5 + 4 radice di 5 - 6 radice di 2 - radice di 10 + 3)
si sommano i termini simili presenti:
2 * (3 + radice di 5 - radice di 2 - radice di 10)
Risulta alla fine:
2 * (3 + radice di 5 - radice di 2 - radice di 10)
fratto
2
si semplifica il 2 e si ottiene il risultato:
3 + radice di 5 - radice di 2 - radice di 10
Spero di essere stato chiaro anche adesso e non troppo contorto nella spiegazione ;)...e naturalmente spero siano giusti i calcoli :lol!!!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo