Spiegazione formula

[oleg.fresi]

Qualcuno potrebbe spiegarmi perche la radice ennesima di un numero si ottiene con la formula: $e^(lnx/n)$ vorrei capire la dimostrazione di questa formula. Grazie in anticipo per l'aiuto.

[@melia]

$ e^(lnx/n) =e^(1/n*lnx) =e^(lnx^(1/n)) $
ma, per la definizione di logaritmo $ a^(log_a b)=b$, quindi $e^(lnb)=b$ e $e^(lnx^(1/n))=x^(1/n)=root(n) (x)$

[axpgn]

Beh, come al solito per via della definizione di logaritmo.

Se $b$ è il logaritmo in base $a$ del numero $x$ allora $b$ è anche l'esponente da dare ad $a$ per ottenere $x$; in matematichese $b=log_a x \ ->\ a^b=x$
Applicando al caso in questione avremo $(e^(ln x))^(1/n)=x^(1/n)=root(n)(x)$

[oleg.fresi]

Ma perchè si utilizza la base $e$ e il logaritmo naturale?

[@melia]

In analisi matematica è quello più usato perché non genera costanti moltiplicative nelle derivate. Per questo motivo i matematici lo preferiscono ad altri logaritmi. I contabili, invece, preferivano il logaritmo in base 10.

[Indrjo Dedej]

Aldilà di questo, puoi benissimo dire \[\sqrt[n]{x}=a^{\frac{\log_a x}{n}}\] con un qualsiasi $a \in ]0,1[ \cup ]1,+\infty[$.

[oleg.fresi]

Ma quindi non bisogna per forza utilizzare il logaritmo naturale?

[Indrjo Dedej]

Puoi scegliere. @melia ti ha detto solo che in analisi avere $e$ come base fa comodo. Ma niente di più, puoi scegliere quale base preferisci nel caso che riporti.

[oleg.fresi]

Ah perfetto, volevo accertare questo. Grazie mille a tutti per la spiegazione