Spiegazione
salve atutti: mi potreste spiegare come si fanno le equazioni irrazionali a due tre quattro e radici doppie perfavore.suppongo che mi direste di andare a leggere prima il mio libro ma nn posso in quanto nn lo tratta come argomento perfavore mi devo preparare per il compito di lunedì
Risposte
Come non lo tratta?
Scusa, ma che scuola fai?
Ad ogni modo
http://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_irrazionale
http://digilander.libero.it/gilmao/Prec ... ionali.htm
Scusa, ma che scuola fai?
Ad ogni modo
http://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_irrazionale
http://digilander.libero.it/gilmao/Prec ... ionali.htm
wizard sono riuscite a capirle solo che nn ho cpito bene quelle a 4 radici e quelle con radicali doppi me li potresti spiegare tu?
Quelle con i radicali doppi le devi trasformare in in quelle con i radicali singoli con la consueta regola $root{n}{root{m}{cdot}}=root{nm}{cdot}$.
Quelle con più di un radicale deevi elevare a potenza fino a che non te ne liberi.
Adesso non ho un eserciziario sull'argomento a portata di mano.
Se ne hai qualcuna, postala e magari vedi assieme al forum come si fa.
Quelle con più di un radicale deevi elevare a potenza fino a che non te ne liberi.
Adesso non ho un eserciziario sull'argomento a portata di mano.
Se ne hai qualcuna, postala e magari vedi assieme al forum come si fa.
$sqrt(3x+6)-sqrt(2x+2)=sqrt(4x+5)-sqrt(x+3)$ prima di tutto ho fatto in modo che le radici fossero tutte positive poi ho posto le varie radici >=0 e mi esce che $x>=-1$ poi come devo fare?
Quello che hai fatto è il campo di esistenza, che in effetti non è cosa da poco.
Ora ci sono diversi modi di operare; quello che ti consiglio è di provare ad ottenere al primo e secondo membro la somma di due o più radici. In questo caso:
$sqrt(3x+6)+sqrt(x+3)=sqrt(4x+5)+sqrt(2x+2)$
Ora poiché le radici se esistono sono positive e la somma di due numeri positivi è sempre positivo, hai al primo e secondo membro due quantità positive. Soddisfatta questa condizione, puoi elevare al quadrato entrambe i membri, e otterrai due doppi prodotti che mantengono la radice.
Ora è un'equazione irrazionale con due radicali.
Ora ci sono diversi modi di operare; quello che ti consiglio è di provare ad ottenere al primo e secondo membro la somma di due o più radici. In questo caso:
$sqrt(3x+6)+sqrt(x+3)=sqrt(4x+5)+sqrt(2x+2)$
Ora poiché le radici se esistono sono positive e la somma di due numeri positivi è sempre positivo, hai al primo e secondo membro due quantità positive. Soddisfatta questa condizione, puoi elevare al quadrato entrambe i membri, e otterrai due doppi prodotti che mantengono la radice.
Ora è un'equazione irrazionale con due radicali.
l'ho fatta e mi esce: $2sqrt(3x^2+15x+18)=2x-2+2sqrt(8x^2+18x+10)$ come devo continuare?
"wmatematica":
l'ho fatta e mi esce: $2sqrt(3x^2+15x+18)=2x-2+2sqrt(8x^2+18x+10)$ come devo continuare?
Ora sei ricaduto nel caso più semplice in cui hai solo 2 radici
Come hai osservato da quella schifezza che hai ottenuto ne ieni fuori solo con un'equazione che se tutto va bene è di quarto grado, altrimenti di ottavo.
Allora bisogna tornare indietro e riflettere un po'
le condizioni di esistenza che hai trovato dicono che $x>=-1$, sotto questa condizione risulta anche che $sqrt(3x+6)>=sqrt(2x+2)$ e $sqrt(4x+5)>=sqrt(x+3)$, quindi possiamo elevare al quadrato direttamente anche se c'è una sottrazione, perché le differenze risultano positive
$(sqrt(3x+6)-sqrt(2x+2))^2=(sqrt(4x+5)-sqrt(x+3))^2$ da cui $3x+6+2x+2-2sqrt((3x+6)(2x+2))=4x+5+x+3-2sqrt((4x+5)(x+3))$, $sqrt((3x+6)(2x+2))=sqrt((4x+5)(x+3))$ che elevata al quadrato dà $(3x+6)(2x+2)=(4x+5)(x+3)$ che è di secondo grado e ha soluzioni $x_1=1$ accettabile e $x_2=-3/2$ non accettabile.
So benissimo che questo non è il metodo di risoluzione più consigliabile, ma con quell'altro temo che non se ne venga fuori.
Allora bisogna tornare indietro e riflettere un po'
le condizioni di esistenza che hai trovato dicono che $x>=-1$, sotto questa condizione risulta anche che $sqrt(3x+6)>=sqrt(2x+2)$ e $sqrt(4x+5)>=sqrt(x+3)$, quindi possiamo elevare al quadrato direttamente anche se c'è una sottrazione, perché le differenze risultano positive
$(sqrt(3x+6)-sqrt(2x+2))^2=(sqrt(4x+5)-sqrt(x+3))^2$ da cui $3x+6+2x+2-2sqrt((3x+6)(2x+2))=4x+5+x+3-2sqrt((4x+5)(x+3))$, $sqrt((3x+6)(2x+2))=sqrt((4x+5)(x+3))$ che elevata al quadrato dà $(3x+6)(2x+2)=(4x+5)(x+3)$ che è di secondo grado e ha soluzioni $x_1=1$ accettabile e $x_2=-3/2$ non accettabile.
So benissimo che questo non è il metodo di risoluzione più consigliabile, ma con quell'altro temo che non se ne venga fuori.
amelia ma è giusto portare le radici tutte positive o è meglio lasciarle come sono?
Chiaramente è giusto portarle tutte positive, perché semplifichi il problema per quanto riguarda l'insieme di esistenza delle soluzioni,
ma qui siamo di fronte ad un caso in cui non se ne viene fuori se si una il criterio che di solito è il migliore e il più semplice.
Per questo bisogna cercare altre strade, anche insolite.
Pensa che per risolvere l'esercizio ho cercato la strada che non faceva restare termini con l'incognita fuori dalle radici, in modo da minimizzare il grado dell'equazione risolvente.
ma qui siamo di fronte ad un caso in cui non se ne viene fuori se si una il criterio che di solito è il migliore e il più semplice.
Per questo bisogna cercare altre strade, anche insolite.
Pensa che per risolvere l'esercizio ho cercato la strada che non faceva restare termini con l'incognita fuori dalle radici, in modo da minimizzare il grado dell'equazione risolvente.
k ora vedo
quindi in quelle con 4 radici è preferibile lasciarele come sono per uanto riguarda la risoluzione mentre e meglio portarle positive per le c.e?
amelia quando sotto radice mi ritrovo un'equazione di secondo grado perchè nn l ddevo mettre le c.e? di quelle sotto radice che sono di 2°
Ricapitoliamo
Supponiamo di avere un esercizio del tipo $sqrtA-sqrtB=sqrtC-sqrtD$
per l'esistenza delle radici devi porre $A>=0; B>=0; C>=0; D>=0$
per poter elevare al quadrato devi avere anche $sqrtA-sqrtB>=0$ e $sqrtC-sqrtD>=0$, poichè queste sono disequazioni irrazionali e forse non sei in grado di svogerle si consiglia di spostare di membro le radici perché abbiano tutte il segno + davanti, l'equazione si trasforma in $sqrtA+sqrtD=sqrtC+sqrtB$, anche qui dovresti fare le condizioni prima di elevare alla seconda, ma $sqrtA+sqrtD>=0$ e $sqrtC+sqrtB>=0$ sono verificate dall'esistenza delle radici che è il primo passaggio fatto, quindi non ci sono problemi. Nel tuo esercizio però sono nati dei problemi a causa dei calcoli, quindi bisogna provare l'altra via anche se possono sorgere difficoltà con le condizioni di esistenza.
di solito le devi mettere, ma nel caso dell'esercizio i radicandi non sono altro che il prodotto di due fattori che hai già posto $>=0$ e quindi le radici esistono sicuramente, lo hai imposto tu nel primo calcolo che hai fatto.
Supponiamo di avere un esercizio del tipo $sqrtA-sqrtB=sqrtC-sqrtD$
per l'esistenza delle radici devi porre $A>=0; B>=0; C>=0; D>=0$
per poter elevare al quadrato devi avere anche $sqrtA-sqrtB>=0$ e $sqrtC-sqrtD>=0$, poichè queste sono disequazioni irrazionali e forse non sei in grado di svogerle si consiglia di spostare di membro le radici perché abbiano tutte il segno + davanti, l'equazione si trasforma in $sqrtA+sqrtD=sqrtC+sqrtB$, anche qui dovresti fare le condizioni prima di elevare alla seconda, ma $sqrtA+sqrtD>=0$ e $sqrtC+sqrtB>=0$ sono verificate dall'esistenza delle radici che è il primo passaggio fatto, quindi non ci sono problemi. Nel tuo esercizio però sono nati dei problemi a causa dei calcoli, quindi bisogna provare l'altra via anche se possono sorgere difficoltà con le condizioni di esistenza.
amelia quando sotto radice mi ritrovo un'equazione di secondo grado perchè nn l ddevo mettre le c.e? di quelle sotto radice che sono di 2°
di solito le devi mettere, ma nel caso dell'esercizio i radicandi non sono altro che il prodotto di due fattori che hai già posto $>=0$ e quindi le radici esistono sicuramente, lo hai imposto tu nel primo calcolo che hai fatto.
Solo una piccolissima pignoleria 
La condizione di esistenza delle radici (ovvero (CE) $x>=-1$) non implica (*) $sqrt(4x+5)>=sqrt(x+3)$ dato che (*) è equivalente a $x>=-2/3$, non contemplato nella condizione (CE). Quindi elevando al quadrato i due termini dimentichiamo che le eventuali soluzioni comprese tra -1 e -2/3 non sono accettabili. Questo perché nell'equazione iniziale il membro di sinistra è positivo in tutto il campo di esistenza, e quindi dev'esserlo pure quello di destra.
Mi piacciono questi problemi colle radici perché sono sempre insidiosi
"amelia":
le condizioni di esistenza che hai trovato dicono che $x>=-1$, sotto questa condizione risulta anche che $sqrt(3x+6)>=sqrt(2x+2)$ e $sqrt(4x+5)>=sqrt(x+3)$
La condizione di esistenza delle radici (ovvero (CE) $x>=-1$) non implica (*) $sqrt(4x+5)>=sqrt(x+3)$ dato che (*) è equivalente a $x>=-2/3$, non contemplato nella condizione (CE). Quindi elevando al quadrato i due termini dimentichiamo che le eventuali soluzioni comprese tra -1 e -2/3 non sono accettabili. Questo perché nell'equazione iniziale il membro di sinistra è positivo in tutto il campo di esistenza, e quindi dev'esserlo pure quello di destra.
Mi piacciono questi problemi colle radici perché sono sempre insidiosi
"Martino":
Mi piacciono questi problemi colle radici perché sono sempre insidiosi
Che dire? Hai ragione!!
Aggiungo giusto un'altra cosa (sperando di non essere troppo fuori tema, dato che ci si proponeva di parlare in generale di questo tipo di equazioni). In questo tipo di problemi è consigliabile ricalcolare il C.E. ad ogni passaggio. Faccio un esempio: supponiamo di avere
(*) $sqrt{x}=sqrt{2x-1}-sqrt{7x+3}$
Imponendo la non negatività dei radicandi otteniamo (CE) $x ge 1/2$.
Ora portando $sqrt{7x+3}$ a sinistra otteniamo:
$sqrt{x}+sqrt{7x+3}=sqrt{2x-1}$
Qui poiché i due membri sono positivi possiamo elevare al quadrato, ottenendo l'equazione equivalente:
$2sqrt{x(7x+3)}=-6x-4$
Da questa uguaglianza deduciamo che la quantità $-6x-4$ dev'essere non negativa, ovvero $x le -2/3$. Questa condizione è incompatibile con (CE) e quindi l'esercizio è finito: l'equazione (*) non ammette soluzioni.
Questo reiterato studio del C.E. sembra non necessario in quanto potremmo in linea teorica applicare il metodo barbaro di dimenticare tutte le condizioni di esistenza, elevare al quadrato quando necessario e verificare tutte le soluzioni alla fine risostituendole nell'equazione iniziale. Tuttavia in generale esso (il reiterato studio del C.E.) si rivela cruciale in presenza di disequazioni, perché là è ben difficile verificare le soluzioni 'risostituendo'
Chiusa parentesi
(*) $sqrt{x}=sqrt{2x-1}-sqrt{7x+3}$
Imponendo la non negatività dei radicandi otteniamo (CE) $x ge 1/2$.
Ora portando $sqrt{7x+3}$ a sinistra otteniamo:
$sqrt{x}+sqrt{7x+3}=sqrt{2x-1}$
Qui poiché i due membri sono positivi possiamo elevare al quadrato, ottenendo l'equazione equivalente:
$2sqrt{x(7x+3)}=-6x-4$
Da questa uguaglianza deduciamo che la quantità $-6x-4$ dev'essere non negativa, ovvero $x le -2/3$. Questa condizione è incompatibile con (CE) e quindi l'esercizio è finito: l'equazione (*) non ammette soluzioni.
Questo reiterato studio del C.E. sembra non necessario in quanto potremmo in linea teorica applicare il metodo barbaro di dimenticare tutte le condizioni di esistenza, elevare al quadrato quando necessario e verificare tutte le soluzioni alla fine risostituendole nell'equazione iniziale. Tuttavia in generale esso (il reiterato studio del C.E.) si rivela cruciale in presenza di disequazioni, perché là è ben difficile verificare le soluzioni 'risostituendo'
Chiusa parentesi
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