Sottospazi

[kimy]

ciao avrei bisogno di kiarimenti sulla seguente soluzione di un esercizio:

Sia U = {(a,b,c,d): a+b=0, c=2d} sottospazio di R^4, trovare la dimensione e una base



Soluzione:

stiamo cercando una base dell'insieme di soluzioni (a,b,c,d) del sistema

a+c=0
c=2d

Variabili libere sono b, d (PERCHE'? COME LE DETERMINO) . Poniamo

b=1, d=0;
b=0, d=1;

per ottenere come rispettive soluzioni

v1 = (-1,1,0,0)
v2 = (0,0,2,1)

(COME SI TROVANO?)

L'insieme {v1, v2} e' base di U, e dim U = 2.



grazie

[ciampax]

Allora, le cose sono abbastanza semplici e standard. Come dicevi, per determinare la "forma" di un generico vettore di U hai bisogno di risolvere il sistema di equazioni dato dalle condizioni nella definizione di U stesso. Quindi

[math]a+b=0,\qquad c=2d[/math]

Visto che ci sono molte più incognite di quante siano le soluzioni il teorema di Rouché-Capelli afferma che ci sono infinite soluzioni dipendenti da due parametri. Ciò vuol dire che ti basta scegliere, Tra a,b,c,d, due di esse come variabili libere e le altre due come dipendenti. La scelta più ovvia è prendere b, d come variabili libere (ma ve ne sono anche altre) così che

[math]a=-b,\qquad c=2d[/math]

e quindi il vettore generico di U assume la forma

[math](-b,b,2d,d)[/math]

Poiché i vettori di U dipendono da 2 variabili libere, ne segue che

[math]\dim U=2[/math]

.
A questo punto per determinare una base, basta assegnare i valori 1,0 a b,d rispettivamente, da cui

[math](-1,1,0,0),\qquad (0,0,2,1)[/math]

sono due vettori di base.

[kimy]

grazie sei stato molto chiaro :satisfied

[ciampax]

Prego. Chiudo!