Sottoinsiemi e se e solo se

[giaomo1]

Non comprendo l'uso del sse in alcune definizioni:
Esempio:
"A è sottoinsieme di B" sse (equivale) " ogni elemento di A è elemento di B."
Domanda:
sse o equivale significa che sono uguali le due proposizioni citate ?
spero di essere stato chiaro .
grazie

[gio73]

se e solo se è la locuzione italiana che rende il simbolo$\leftrightarrow$, quello della coimplicazione.

[giaomo1]

e nell 'esempio riportato sopra cosa significa allora la frase ?

[gio73]

proposizione p A è sottoinsieme di B
proposizione q ogni elemento di A è elemento di B
vale p$->$q (leggasi se A è sottoinsieme di B allora ogni elemento di A è elemento di B)
e vale anche q$->$p(leggasi se ogni elemento di A è elemento di B allora A è sottoinsieme di B )
più concisamente possiamo scrivere p$\leftrightarrow$q (leggasi A è sottoinsieme di B se e solo se ogni elemento di A è elemento di B)

[onlyReferee]

Significa che puoi utilizzare indistintamente l'una o l'altra parte della proposizione come ipotesi per e l'altra come tesi corrispondente. Questo non si può dire invece nel caso in cui l'implicazione sia in un verso soltanto. In tal caso infatti la tesi ottenuta sarà condizione necessaria ma non sufficiente per poter ricavare come conseguenza l'ipotesi originale.

[giaomo1]

In pratica data una proposizione p↔q significa esibire 2 dimostrazioni : p→q e q→p da cui si evince che p , q sono equiveridiche (equivalenti) ?
proposizione p A è sottoinsieme di B
proposizione q ogni elemento di A è elemento di B
Definizione :
A è sottoinsieme di B sse ogni elemento di A è elemento di B, in simboli p↔q.
1) Ora se in un esercizio (vale) p↔q e mi si chiede di verificare p basta dimostrare la proposizione q ?
2) Posso dire che la definizione di sottoinsieme data sopra specifica anche il caso in cui p non vale, deve esserre vera not q ?
3) Riassumendo se ogni elemento di A è elemento di B allora A è sottoinsieme di B , mentre se non è vero che ogni elemento di A è elemento di B allora A non è sottoinsieme di B ?
E' corretto? .

[onlyReferee]

"giaomo":In pratica data una proposizione p↔q significa esibire 2 dimostrazioni : p→q e q→p da cui si evince che p , q sono equiveridiche (equivalenti) ?

Esatto. Nota: "equiveridiche" credo non so se esista nella lingua italiana , va benissimo equivalenti.

"giaomo":
proposizione p A è sottoinsieme di B
proposizione q ogni elemento di A è elemento di B
Definizione :
A è sottoinsieme di B sse ogni elemento di A è elemento di B, in simboli p↔q.
1) Ora se in un esercizio (vale) p↔q e mi si chiede di verificare p basta dimostrare la proposizione q ?
2) Posso dire che la definizione di sottoinsieme data sopra specifica anche il caso in cui p non vale, deve esserre vera not q ?
3) Riassumendo se ogni elemento di A è elemento di B allora A è sottoinsieme di B , mentre se non è vero che ogni elemento di A è elemento di B allora A non è sottoinsieme di B ?
E' corretto? .

1) Esatto, per la precisione dimostri solo il verso della dimostrazione $q \rightarrow p$;
2) Esatto. Ricorda che questo vale solo quando hai una doppia implicazione però (come nel nostro caso), non con una singola;
3) Esatto per quanto detto in 2.