Sostituzione in coseno
ciao a tutti 
spolverando un pò il quaderno di triogonometria ho trovato un esercizio che non riesco più a svolgere.
sen$\alpha$ * $cos ^2$ $\alpha$ + $sen^3$ $\alpha$ = sen $\alpha$
non riesco a capire come si svolge, devo sostituire tutto in coseno e verificare l'uguaglianza
è la prima volta che scrivo, e spero di aver capito come si scrive.Non vogliatemi male se ho scritto qualcosa di errato. Grazie sempre a tutti per la pazienza e la disponibilità. Ciaooo 
spolverando un pò il quaderno di triogonometria ho trovato un esercizio che non riesco più a svolgere.sen$\alpha$ * $cos ^2$ $\alpha$ + $sen^3$ $\alpha$ = sen $\alpha$
non riesco a capire come si svolge, devo sostituire tutto in coseno e verificare l'uguaglianza
è la prima volta che scrivo, e spero di aver capito come si scrive.Non vogliatemi male se ho scritto qualcosa di errato. Grazie sempre a tutti per la pazienza e la disponibilità. Ciaooo
Risposte
Non è più facile mettere tutto in seno? Ricordando la relazione fondamentale hai che $sen^2x+cos^2x=1$, quindi puoi sostituire il $cos^2x$ della tua equazione con $1-sen^2x$.
Anch'io ho pensato questo ma l'esercizio chiede di trasformare tutto in coseno... quello che mi confonde è che dopo la sostituzione in coseno come faccio a continuare?
Grazie per aver risposto
Grazie per aver risposto
$sen alpha * cos ^2 alpha + sen^3 alpha = sen alpha(cos^2 alpha + sen ^2 alpha)= sen alpha*1=sen alpha$
"chiaraotta":
$sen alpha * cos ^2 alpha + sen^3 alpha = sen alpha(cos^2 alpha + sen ^2 alpha)= sen alpha*1=sen alpha$
$sin alpha = +- sqrt(1-cos^2 alpha)$
Proprio la relazione fondamentale mi mette difficoltà nei calcoli perché quando vado a sostituire $ sen^3 $ $\alpha$ in coseno questo mi viene +- sqrt(1-cos^2 alpha) elevato alla 3(scusate ma non so come si faccia a farlo figurare ad apice della parentesi) e non capisco come posso fare per semplificare e andare avanti
Non devi sostituire il seno al cubo, devi fare i passi che ti ha consigliato Chiaraotta e alla fine inserire quello che ho scritto io.
Capito risolto grazie a tutti
risolto grazie a tutti
Ma come faccio a far diventare il $sen^3$ $alpha$ in $sen^2$ $alpha$ ? si mette in evidenza qualcosa?
"Silviog":
Ma come faccio a far diventare il $sen^3$ $alpha$ in $sen^2$ $alpha$ ? si mette in evidenza qualcosa?
E' molto semplice: basta che vedi $\sin^3 \alpha$ come $\sin^2 \alpha \cdot \sin \alpha$. Poi mediante la prima relazione fondamentale della goniometria esprimi il seno in funzione del coseno e sei a posto.
Non vedo comunque l'utilità di quanto proposto dal tuo libro, ossia esprimere tutto in funzione del coseno, quando tutti i termini eccetto uno sono scritti in funzione del seno.
ma se poi vai a fare i calcoli l'identità non si verifica esegui l'intero esercizio sostituendo tutti i seno che ti ritrovi in coseno mediante la relazione fondamentale e verifica la correttezza dell'esercizio
esegui l'intero esercizio sostituendo tutti i seno che ti ritrovi in coseno mediante la relazione fondamentale e verifica la correttezza dell'esercizio
Per la prima relazione fondamentale della goniometria ricaviamo che
$\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha}$ e
$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha$
Scrivo di seguito completamente la soluzione con la sostituzione in coseno:
$\sin \alpha \cdot \cos^2 \alpha + \sin^3 \alpha = $
$\sin \alpha \cdot \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha \cdot \sin \alpha = $
$\sqrt{1 - \cos^2 \alpha} \cdot \cos^2 \alpha + (1 - \cos^2 \alpha) \cdot \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = $
$\sqrt{1 - \cos^2 \alpha} \cdot (\cos ^2 \alpha + 1 - \cos^2 \alpha) = $
$\sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = $
$\sin \alpha$
Per curiosità dov'è che ti bloccavi?
$\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha}$ e
$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha$
Scrivo di seguito completamente la soluzione con la sostituzione in coseno:
$\sin \alpha \cdot \cos^2 \alpha + \sin^3 \alpha = $
$\sin \alpha \cdot \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha \cdot \sin \alpha = $
$\sqrt{1 - \cos^2 \alpha} \cdot \cos^2 \alpha + (1 - \cos^2 \alpha) \cdot \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = $
$\sqrt{1 - \cos^2 \alpha} \cdot (\cos ^2 \alpha + 1 - \cos^2 \alpha) = $
$\sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = $
$\sin \alpha$
Per curiosità dov'è che ti bloccavi?
sul fatto che sen$alpha$ = $+- sqrt(1-cos^2 alpha)$ e non $ sqrt(1-cos^2 alpha)$ e poi non capisco tra il 3 e 4 passaggio il $*$ $ sqrt(1-cos^2 alpha)$ dove va a finire??
"Silviog":
sul fatto che sen$alpha$ = $+- sqrt(1-cos^2 alpha)$ e non $ sqrt(1-cos^2 alpha)$ e poi non capisco tra il 3 e 4 passaggio il $*$ $ sqrt(1-cos^2 alpha)$ dove va a finire??
Lo raccogli a fattor comune tra i due addendi, no?
si ma prima degli addendi c'è $+- sqrt(1-cos^2 alpha)$ quindi anche se volessi raccoglierlo a fattor comune questo diventerebbe $+- sqrt(1-cos^2 alpha)$ alla 2 , no ? io ho lo svolgimento ma non riesco a capire i passaggi fatti.
testo: sen$alpha$ $*$ $cos^2$ $alpha$ + $sen^3$ $alpha$ = sen$alpha$
1)$+- sqrt(1-cos^2 alpha)$ $*$ $cos^2$ $alpha$ + $+- sqrt(1-cos^2 alpha)$ elevato alla 3 = sen$alpha$
2)$+- sqrt(1-cos^2 alpha)$ $*$ $cos^2$ $alpha$ +$sqrt(1-cos^2 alpha)$ elevato alla seconda = sen$alpha$
da notare che da elevato alla 3 diventa alla 2 e da $+- sqrt(1-cos^2 alpha)$ diventa $sqrt(1-cos^2 alpha)$
dove finiscono + e - e come si fa a far diventare l'elevato alla 3 alla 2?
inoltre l'elevato alla seconda ci permette di elidere la radice e ci rimane cosi:
3)$+- sqrt(1-cos^2 alpha)$ $*$ ( $cos^2$ $alpha$ + 1 - $cos^2$ $alpha$ ) = sen$alpha$
semplifichiamo $cos^2$ $alpha$ con - $cos^2$ $alpha$
4)$+- sqrt(1-cos^2 alpha)$ $*$ 1 = $+- sqrt(1-cos^2 alpha)$
ovviamente dopo l'uguale essendoci il sen$alpha$ lo trasformo per verificare l'identita
testo: sen$alpha$ $*$ $cos^2$ $alpha$ + $sen^3$ $alpha$ = sen$alpha$
1)$+- sqrt(1-cos^2 alpha)$ $*$ $cos^2$ $alpha$ + $+- sqrt(1-cos^2 alpha)$ elevato alla 3 = sen$alpha$
2)$+- sqrt(1-cos^2 alpha)$ $*$ $cos^2$ $alpha$ +$sqrt(1-cos^2 alpha)$ elevato alla seconda = sen$alpha$
da notare che da elevato alla 3 diventa alla 2 e da $+- sqrt(1-cos^2 alpha)$ diventa $sqrt(1-cos^2 alpha)$
dove finiscono + e - e come si fa a far diventare l'elevato alla 3 alla 2?
inoltre l'elevato alla seconda ci permette di elidere la radice e ci rimane cosi:
3)$+- sqrt(1-cos^2 alpha)$ $*$ ( $cos^2$ $alpha$ + 1 - $cos^2$ $alpha$ ) = sen$alpha$
semplifichiamo $cos^2$ $alpha$ con - $cos^2$ $alpha$
4)$+- sqrt(1-cos^2 alpha)$ $*$ 1 = $+- sqrt(1-cos^2 alpha)$
ovviamente dopo l'uguale essendoci il sen$alpha$ lo trasformo per verificare l'identita
Puoi verificare l'uguaglianza indistintamente quando utilizzi + o - davanti a $\sqrt{1 - \cos^2 \alpha}$, l'importante è che sei coerente nella sostituzione (usi + in ogni occorrenza di $\sin(\alpha)$ se decidi di prendere la radice positiva o - se decidi di prendere quella negativa).
Perfetto già qualcosa in più l'ho spolverata ora cercherò di capire i passaggi fatti da elevato alla 3 all'elevato alla 2 è questo quello che mi "confonde", non capisco come si possa fare.Sono 5 giorni che ci "combatto" e nessuna soluzione al problema.
già qualcosa in più l'ho spolverata ora cercherò di capire i passaggi fatti da elevato alla 3 all'elevato alla 2 è questo quello che mi "confonde", non capisco come si possa fare.Sono 5 giorni che ci "combatto" e nessuna soluzione al problema.
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