Sostituzione 0 nella risoluzione di un limite
Salve a tutti,
Avrei soltanto una domanda rapida da porvi, è matematicamente corretto scrivere :
$ lim_(x -> 0) 7/x=7/0=+oo $
durante la risoluzione del limite o è un errore scrivere uno 0 al denominatore?
Grazie
Avrei soltanto una domanda rapida da porvi, è matematicamente corretto scrivere :
$ lim_(x -> 0) 7/x=7/0=+oo $
durante la risoluzione del limite o è un errore scrivere uno 0 al denominatore?
Grazie
Risposte
Ciao @banabinomio !
Secondo me scrivere $7/0$ è errore. Tant'è vero che $x=0$ non appartiene al dominio di quella funzione, pur essendone punto di accumulazione. Inoltre ci tengo a sottolineare un'altra cosa: quel limite che hai scritto è sbagliato. Infatti $lim_(x->0)7/x$ non esiste, poiché sono diversi i limiti da destra e da sinistra; in particolare si ha $lim_(x->0^+)7/x=+infty$ e $lim_(x->0^-)7/x=-infty$. Dunque esistono i due limiti destro e sinistro presi singolarmente, ma non esiste il limite complessivo (bilatero) quando x tende a 0.
Spero di essere stato chiaro e di non averti confuso ulteriormente le idee. Se hai dubbi chiedi pure.
Saluti
Secondo me scrivere $7/0$ è errore. Tant'è vero che $x=0$ non appartiene al dominio di quella funzione, pur essendone punto di accumulazione. Inoltre ci tengo a sottolineare un'altra cosa: quel limite che hai scritto è sbagliato. Infatti $lim_(x->0)7/x$ non esiste, poiché sono diversi i limiti da destra e da sinistra; in particolare si ha $lim_(x->0^+)7/x=+infty$ e $lim_(x->0^-)7/x=-infty$. Dunque esistono i due limiti destro e sinistro presi singolarmente, ma non esiste il limite complessivo (bilatero) quando x tende a 0.
Spero di essere stato chiaro e di non averti confuso ulteriormente le idee. Se hai dubbi chiedi pure.
Saluti
È assolutamente scorretto scrivere \(7/0 \) per due motivi il primo è che non è possibile dividere per \(0\)!!!
Il secondo perché quando fai il limite per \( x \to 0 \) (in realtà per \(x \to x_0\) generico) significa che guardi il comportamento della funzione per cui fai il limite in un intorno, i.e. con \(x\) che è molto vicino a \(0\) ma con \(x\) che non è mai \(0 \).
Tanto è vero che molti autori scrivono, più correttamente a mio modo di vedere,
\[ \lim_{x \underset{\neq}{\to } x_0} f(x) \]
Il secondo perché quando fai il limite per \( x \to 0 \) (in realtà per \(x \to x_0\) generico) significa che guardi il comportamento della funzione per cui fai il limite in un intorno, i.e. con \(x\) che è molto vicino a \(0\) ma con \(x\) che non è mai \(0 \).
Tanto è vero che molti autori scrivono, più correttamente a mio modo di vedere,
\[ \lim_{x \underset{\neq}{\to } x_0} f(x) \]
Molti autori? Insomma ... anche perché sarebbe ridondante, ci sta già nella definizione di limite ...
Premesso che avete pienamente ragione, non sarei così rigido nel senso che è quello che si fa mentalmente in prima battuta; d'altra parte scritture come $0/0$ o $infty/infty$ si usano normalmente pur sapendo che sono sono sigle per identificare delle situazioni ma matematicamente non valide.
IMHO
Cordialmente, Alex
Premesso che avete pienamente ragione, non sarei così rigido nel senso che è quello che si fa mentalmente in prima battuta; d'altra parte scritture come $0/0$ o $infty/infty$ si usano normalmente pur sapendo che sono sono sigle per identificare delle situazioni ma matematicamente non valide.
IMHO
Cordialmente, Alex
Ho scritto molti ma volevo scrivere alcuni... pardon!
Comunque non era per essere rigido, ma era per dare la risposta a questa domanda:
La risposta: "No!".
Comunque non era per essere rigido, ma era per dare la risposta a questa domanda:
"banabinomio":
Avrei soltanto una domanda rapida da porvi, è matematicamente corretto scrivere [...]
La risposta: "No!".
Ah, beh, allora ... 
Grazie mille per le risposte, so bene che è un orrore dividere per 0 ma l'ho visto fare da qualche parte forse come passaggio successivo di un limite a cui era stato sostituito lo 0 come esempio propedeutico, per dare l'idea. Ad ogni modo, allora nella soluzione del limite $ lim_(x -> 0+) 7/x $ allora dovrei giustificare dicendo che è un limite notevole e porlo direttamente uguale a + infinito, corretto?
PS scusate avevo dimenticato il + sopra lo 0, volevo indicare il limite destro.
PS scusate avevo dimenticato il + sopra lo 0, volevo indicare il limite destro.
Non direi che è un limite notevole. Direi che non ha bisogno di giustificazione in quanto è evidente che faccia \( \infty \).
Edit: e se proprio ti si chiede di giustificare esplicitamente il motivo per cui quel limite fa infinito lo fai così:
Fissiamo un certo \( N >0 \) arbitrario, e cerchiamo un \( \delta > 0 \), che dipende da \(N\), in modo tale che se \( 0 < x \leq \delta \) allora risulta che \( \frac{7}{x} \geq N \).
È sufficiente scegliere \( \delta = \frac{7}{N} \) e abbiamo evidentemente che \( 0 < x \leq \frac{7}{N} \) allora \( N \leq \frac{7}{x} \).
Edit: e se proprio ti si chiede di giustificare esplicitamente il motivo per cui quel limite fa infinito lo fai così:
Fissiamo un certo \( N >0 \) arbitrario, e cerchiamo un \( \delta > 0 \), che dipende da \(N\), in modo tale che se \( 0 < x \leq \delta \) allora risulta che \( \frac{7}{x} \geq N \).
È sufficiente scegliere \( \delta = \frac{7}{N} \) e abbiamo evidentemente che \( 0 < x \leq \frac{7}{N} \) allora \( N \leq \frac{7}{x} \).
Dico la mia sulle due questioni sollevate.
1) E' vero che $7/0$ non è una scritta accettabile, ma è un modo per indicare il ragionamento fatto. Io suggerisco di scriverlo ma con un segno di cancellazione, ad indicare che non è una vera formula.
2) Secondo me, è coretto scrivere $lim_(x->0)7/x=oo$ (e quindi il limite esiste), perché la mancanza di segno davanti all'infinito di un risultato dice che limite destro e sinistro hanno segni diversi (oppure, ma meno bene, che non si è pensato al segno).
1) E' vero che $7/0$ non è una scritta accettabile, ma è un modo per indicare il ragionamento fatto. Io suggerisco di scriverlo ma con un segno di cancellazione, ad indicare che non è una vera formula.
2) Secondo me, è coretto scrivere $lim_(x->0)7/x=oo$ (e quindi il limite esiste), perché la mancanza di segno davanti all'infinito di un risultato dice che limite destro e sinistro hanno segni diversi (oppure, ma meno bene, che non si è pensato al segno).
"3m0o":C'è anche chi scrive
Tanto è vero che molti autori scrivono, più correttamente a mio modo di vedere,
\[ \lim_{x \underset{\neq}{\to } x_0} f(x) \]
\[
\lim_{\substack{x\to x_0\\x\in A}}f(x)
\] per indicare il limite quando \( x \) va a \( x_0 \) della funzione \( f\colon X\to Y \), per \( A\subset X \).
Questo è decisamente meglio: che cavolo significa \( \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}x \)? cioè, che funzione è "\( \frac{\sin x}x \)"? È imbarazzante che una buona percentuale della popolazione non sia familiare con la nozione "moderna" di funzione. Per questo la notazione \( \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}x \) è didatticamente pericolosa (non per te, o per me, o per boh, dico).
Perfetto, grazie a tutti per le risposte, adesso ho capito.
"axpgn":
Molti autori? Insomma ... anche perché sarebbe ridondante, ci sta già nella definizione di limite ...
Beh, non sempre: alcune volte la condizione $x != x_0$ non è inserita nella definizione di limite.
Ricordo che questa cosa me la fece notare Luca.Lussardi tipo mille anni fa...
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