Sommatoria di sommatoria

jronchi98
Ciao a tutti, mi sono trovato a dover affrontare un problema di vita reale che ho deciso di risolvere attraverso l'uso della matematica, nello specifico delle serie (geometriche). Non disponendo di conoscenze ferrate, io studente di un liceo scientifico al quinto anno ho deciso di trovare una soluzione per così dire a "tentativi". Diciamo che per trovare una soluzione ho verificato empiricamente la funzione con un bel po' di valori e devo dire che per quanto "brutta" funziona alla perfezione.

$y=\sum_{n=0}^{3}(2^n x) + \sum_{n=0}^{2}(2^n x) + \sum_{n=0}^{1}(2^n x) + \sum_{n=0}^{0}(2^n x)$

Allora, prima che alcuni di voi si cavino gli occhi, so che è veramente oscena però quantomeno funziona.
Sono al corrente del fatto che la x la posso portare fuori e che l'ultima sommatoria sia uguale a x ma ho deciso di sottoporvela così come l'ho pensata.
Vorrei riuscire a scrivere questa creatura nella maniera più carina possibile.
Grazie ancora

Risposte
mgrau
Dato che
$\sum_{k=0}^n(2^k ) = 2^(n+1) -1$
ti rimane una sommatoria sola, ossia $x * \sum_{n=0}^3(2^(n+1) -1)$
che poi puoi esplicitare allo stesso modo:
$ \sum_{n=0}^3(2^(n+1) -1) = \sum_{n=1}^4(2^n -1) = \sum_{n=1}^4(2^n) - 4 = \sum_{n=0}^4(2^n) - 2^0 - 4 = 2^5 - 1 - 1 - 4 = 26$
(se non ho sbagliato i conti)

jronchi98
Grazie mille cosa dire, mi è già stata data la risposta che cercavo.
Mille grazie per l'aiuto :D :D :D :D

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