Sommatoria dei cubi
Ho trovato empiricamente questa formula, me la confermate?
$sum_(i=1)^n i^3 = ((n+1),(2))^2 $
E' giusta?!?
Grazie
$sum_(i=1)^n i^3 = ((n+1),(2))^2 $
E' giusta?!?
Grazie
Risposte
Se
$((N+1),(2))^2 + (N+1)^3 = ((N+2),(2))^2$
allora è giusta.
$((N+1),(2))^2 + (N+1)^3 = ((N+2),(2))^2$
allora è giusta.
"Tipper":
Se
$((N+1),(2))^2 + (N+1)^3 = ((N+2),(2))^2$
allora è giusta.
E' giusta allora...
Ma esiste una formula generale per calcolare:
$sum_(i=1)^n i^k$ con $k in NN^+$?
Perchè fino ad ora ho trovato che:
$sum_(i=1)^n i = ((n+1),(2))$
$sum_(i=1)^n i^2 = (n(n+1)(2n+1))/6$
$sum_(i=1)^n i^3 = ((n+1),(2))^2$
La prima e la terza si somigliano, ma la seconda no.... C'è una regola comune?!?
Visto l'andazzo, prova a vedere se
$\sum_{i=1}^{n} i^5 = ((n+1),(2))^3$
$\sum_{i=1}^{n} i^5 = ((n+1),(2))^3$
"Tipper":
Visto l'andazzo, prova a vedere se
$\sum_{i=1}^{n} i^5 = ((n+1),(2))^3$
Ho fatto un conticino veloce, pare non sia vera...
No infatti non lo è.........
L'argomento e' stato gia' trattato(da me e da molti altri) sul Forum e la formula generale esiste:
$1^k+2^k+3^k+...+n^k=1/(k+1)*[ ((k+1),(0))B_0n^(k+1) +((k+1),(1))B_1n^k+ ((k+1),(2))B_2n^(k-1)+((k+1),(3))B_3n^(k-21)+...+((k+1),(k))B_kn]$
dove i coefficienti $B_i$ sono i cosiddetti numeri di Bernoulli il cui valore si puo'
calcolare tramite una formula ricorsiva.Questa formula si appoggia su un calcolo particolare
chiamato Calcolo umbratile.Per evitarti tale procedimento ti elenco le $B_i$ piu' comuni:
$B_o=1,B_1=1/2,B_2=1/6,B_4=-1/(30),B_6=1/(42),B_8=-1/(30)$
$B_(10)=5/66,B_(12)=-(691)/(2730),B_(14)=7/6,B_(16)=-(3617)/(510),B_(18)=(43867)/(798)$
$B_(20)=-(174611)/(330),B_(22)=(854513)/(138)$
Le $B_i$ di indice dispari sono tutte nulle tranne $B_1=1/2$ ( in alcune tavole si
legge $B_1=-1/2$ ma sembra errato).
Applichiamo ad esempio la formula per k=2:
$1^2+2^2+3^2+...+n^2=1/3*[((3),(0))B_on^3+((3),(1))B_1n^2+((3),(2))B_2n]=1/3*[n^3+3/2n^2+1/2n]$
E facendo qualche calcolo:
$1^2+2^2+3^2+...+n^2=(n(n+1)(2n+1))/6$
che e' una nota formula.
karl
$1^k+2^k+3^k+...+n^k=1/(k+1)*[ ((k+1),(0))B_0n^(k+1) +((k+1),(1))B_1n^k+ ((k+1),(2))B_2n^(k-1)+((k+1),(3))B_3n^(k-21)+...+((k+1),(k))B_kn]$
dove i coefficienti $B_i$ sono i cosiddetti numeri di Bernoulli il cui valore si puo'
calcolare tramite una formula ricorsiva.Questa formula si appoggia su un calcolo particolare
chiamato Calcolo umbratile.Per evitarti tale procedimento ti elenco le $B_i$ piu' comuni:
$B_o=1,B_1=1/2,B_2=1/6,B_4=-1/(30),B_6=1/(42),B_8=-1/(30)$
$B_(10)=5/66,B_(12)=-(691)/(2730),B_(14)=7/6,B_(16)=-(3617)/(510),B_(18)=(43867)/(798)$
$B_(20)=-(174611)/(330),B_(22)=(854513)/(138)$
Le $B_i$ di indice dispari sono tutte nulle tranne $B_1=1/2$ ( in alcune tavole si
legge $B_1=-1/2$ ma sembra errato).
Applichiamo ad esempio la formula per k=2:
$1^2+2^2+3^2+...+n^2=1/3*[((3),(0))B_on^3+((3),(1))B_1n^2+((3),(2))B_2n]=1/3*[n^3+3/2n^2+1/2n]$
E facendo qualche calcolo:
$1^2+2^2+3^2+...+n^2=(n(n+1)(2n+1))/6$
che e' una nota formula.
karl
Come supplemento alla risposta esauriente di Karl, vorrei postare un procedimento che permette anch'esso di evitare
il calcolo umbratile ma che non permette una generalizzazione: è infatti "straight-forward", per dirla all'inglese, ma
è necessario applicarlo da cima a fondo ogni volta: di seguito il caso $sum_(k=1)^n k^2$:
Si ha che $(k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1$.
Si possono allora scrivere le seguenti equazioni:
$(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1$
$ldots$
$(1+1)^3-1=3cdot1^3+3cdot1+1$
Sommando, si ha
$(n+1)^3-1=3sum_(k=1)^nk^2+3sum_(k=1)^nk+n$.
Sapendo che $sum_(k=1)^nk=(n(n+1))/2$
e risolvendo per l'incognita $sum_(k=1)^nk^2$
si ottiene la nota formula di cui sopra.
il calcolo umbratile ma che non permette una generalizzazione: è infatti "straight-forward", per dirla all'inglese, ma
è necessario applicarlo da cima a fondo ogni volta: di seguito il caso $sum_(k=1)^n k^2$:
Si ha che $(k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1$.
Si possono allora scrivere le seguenti equazioni:
$(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1$
$ldots$
$(1+1)^3-1=3cdot1^3+3cdot1+1$
Sommando, si ha
$(n+1)^3-1=3sum_(k=1)^nk^2+3sum_(k=1)^nk+n$.
Sapendo che $sum_(k=1)^nk=(n(n+1))/2$
e risolvendo per l'incognita $sum_(k=1)^nk^2$
si ottiene la nota formula di cui sopra.
Tutto ciò è veramente spettacolare! 
Non pensavo che esistesse sul serio!
Adesso sono curioso, di che tratta questo "calcolo umbratile" ??
Non pensavo che esistesse sul serio!Adesso sono curioso, di che tratta questo "calcolo umbratile" ??
Nel caso in questione non si tratta di una cosa difficile.
Si parte da $B_o=1$ e dalla relazione (simbolica):
$(B+1)^(k+1)-B^(k+1)=k+1$
Dopo aver sviluppando il primo membro di essa (per un assegnato valore
di k) ,si deve aver cura di spostare ogni esponente dall'alto di B ai piedi di B medesimo.
Come se si facesse diventare ogni esponente l'ombra di se stesso (di qui il nome di
"umbratile").
Qualche esempio chiarira' la cosa.
Per k=1 si ha:
$(B+1)^2-B^2=2$ e sviluppando $2B^1=1$
Spostando ora ogni esponente in basso risulta:
$2B_1=1$ da cui $B_1=1/2$
Per k=2 si ha:
$(B+1)^3-B^3=3$ e sviluppando $3B^2+3B^1=2$
E spostando ogni esponente in basso :
$3B_2+3B_1=2$ , ovvero $3B_2+3/2=2$ e quindi $B_2=1/6$
E così via.Certo,dopo un poco i calcoli diventano complicati ed e' meglio
servirsi delle tavole gia' pronte.
karl
Si parte da $B_o=1$ e dalla relazione (simbolica):
$(B+1)^(k+1)-B^(k+1)=k+1$
Dopo aver sviluppando il primo membro di essa (per un assegnato valore
di k) ,si deve aver cura di spostare ogni esponente dall'alto di B ai piedi di B medesimo.
Come se si facesse diventare ogni esponente l'ombra di se stesso (di qui il nome di
"umbratile").
Qualche esempio chiarira' la cosa.
Per k=1 si ha:
$(B+1)^2-B^2=2$ e sviluppando $2B^1=1$
Spostando ora ogni esponente in basso risulta:
$2B_1=1$ da cui $B_1=1/2$
Per k=2 si ha:
$(B+1)^3-B^3=3$ e sviluppando $3B^2+3B^1=2$
E spostando ogni esponente in basso :
$3B_2+3B_1=2$ , ovvero $3B_2+3/2=2$ e quindi $B_2=1/6$
E così via.Certo,dopo un poco i calcoli diventano complicati ed e' meglio
servirsi delle tavole gia' pronte.
karl
solo un commento linguistico:
la traduzione "italiana" standard è "calcolo umbrale" (in inglese: umbral calculus, cui è associato il nome di Gian-Carlo Rota)
la traduzione "italiana" standard è "calcolo umbrale" (in inglese: umbral calculus, cui è associato il nome di Gian-Carlo Rota)
"elgiovo":
Si ha che $(k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1$.
Si possono allora scrivere le seguenti equazioni:
$(n+1)^3-n^3=3k^2+3k+1$
perdonate la mia lentezza: perchè hai potuto mettere $n$ al posto di $k$ nel membro sinistro? cioè, se $n=4$ e $k=2$ quella cosa non è vera o sbaglio?
Mi scuso per l'errore di battitura. Correggo.
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