Sommatoria con all'interno un prodotto

[papo84]

Ciao,
quasi sicuramente non è possibile, però volevo chiedervi se, in una sommatoria con all'interno un prodotto, questa può essere scomposta come prodotto di due sommatorie,ovvero:
\[ \sum_{k=1}^m (k*x^{k-1}) \]
si trasforma in:
\[ \sum_{k=1}^m k *\sum_{k=1}^m x^{k-1}\]

Ci sono per caso alternative?

Grazie in anticipo per l'aiuto

[_prime_number]

Non è corretto. Prendi ad esempio $\sum_{i=0}^2 a_i b_i =a_0 b_0 + a_1 b_1 + a_2 b_2 \ne \sum_{i=0}^2 a_i \sum_{i=0}^2 b_i= (a_0 + a_1 + a_2) (b_0 + b_1 + b_2)$ (vengono anche i termini misti!)

Paola

[vittorino70]

Un'alternativa elementare c'è ma richiede la conoscenza della somma dei termini di una progressione geometrica:
(0) \(\displaystyle S_m=a_1\cdot \frac{q^m-1}{q-1} \) dove \(\displaystyle a_1,q \) sono rispettivamente primo termine e ragione.
Allora si ha:
(1) \(\displaystyle S_m= 1+2x+3x^2+4x^3+5x^4+...+(m-1)x^{m-2}+mx^{m-1}\)
Moltiplicando per x:
(2) \(\displaystyle xS_m= x+2x^2+3x^3+4x^4+5x^5+...+(m-1)x^{m-1}+mx^{m}\)
Sottraendo la (2) dalla (1) risulta:
\(\displaystyle (1-x)S_m=[1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+...+x^{m-1}] -mx^m\)
Applicando la (0) alla somma in parentesi quadra si ha:
\(\displaystyle (1-x)S_m=\frac{x^m-1}{x-1}-mx^m =\frac{-mx^{m+1} +(m+1)x^m-1}{x-1}\)
Ed infine:
\(\displaystyle S_m=\frac{mx^{m+1} -(m+1)x^m+1}{(x-1)^2}\)
Per chi conosce le derivate si può procedere anche con questo strumento.