Sommatoria..
Forse la domanda è un po scema, ma la sommatoria è una funzione iniettiva?
se spiego a cosa mi serve la domanda forse posso far capire la mia domanda vera e propria:
Oggi pensando mi è venuto in mente un modo per dimostrare il criterio del confronto di Gauss:
Tesi:
1. Se una serie con termine generale $a_n$ ha una serie minorante con termine generale $b_n$ che è divergente allora $a_n$ sarà a maggior ragione divergente
2. Se una serie con termine generale $a_n$ ha una serie maggiorante con termine generale $b_n$ che è convergente allora $a_n$ sarà a maggior ragione convergente
Dimostrazione:
1. Consideriamo $a_n$ e il suo minorante $b_n$ tramite questa relazione: $a_n > b_n$, se applichiamo ai 2 membri la funzione sommatoria che per $n$ va da $0$ a $oo$ che chiameremo $sum$ per semplicità (per questo chiedo se la sommatoria è una funzione iniettiva) avremo $suma_n > sumb_n$, ma come detto nella tesi noi supponiamo $b_n$ divergente e quindi $sumb_n = oo$ e sostituendo abbiamo che $suma_n > oo$ e quindi a maggior ragione $suma_n$ è divergente
La 2 è analoga alla prima
2. Consideriamo $a_n < b_n$ e applicando ai suoi due membri la sommatoria abbiamo $suma_n$ < $sumb_n$, se $sumb_n$ è convergente allora $sumb_n = S$ e quindi sostituendo abbiamo che $suma_n < S$ e quindi a maggior ragione $suma_n$ è convergente
Ora questa dimostrazione vale se e solo se la funzione sommatoria è iniettiva, e quindi la mia domanda è questa:
La funzione sommatoria è iniettiva?
Grazie in anticipo..
Mega-X
se spiego a cosa mi serve la domanda forse posso far capire la mia domanda vera e propria:
Oggi pensando mi è venuto in mente un modo per dimostrare il criterio del confronto di Gauss:
Tesi:
1. Se una serie con termine generale $a_n$ ha una serie minorante con termine generale $b_n$ che è divergente allora $a_n$ sarà a maggior ragione divergente
2. Se una serie con termine generale $a_n$ ha una serie maggiorante con termine generale $b_n$ che è convergente allora $a_n$ sarà a maggior ragione convergente
Dimostrazione:
1. Consideriamo $a_n$ e il suo minorante $b_n$ tramite questa relazione: $a_n > b_n$, se applichiamo ai 2 membri la funzione sommatoria che per $n$ va da $0$ a $oo$ che chiameremo $sum$ per semplicità (per questo chiedo se la sommatoria è una funzione iniettiva) avremo $suma_n > sumb_n$, ma come detto nella tesi noi supponiamo $b_n$ divergente e quindi $sumb_n = oo$ e sostituendo abbiamo che $suma_n > oo$ e quindi a maggior ragione $suma_n$ è divergente
La 2 è analoga alla prima
2. Consideriamo $a_n < b_n$ e applicando ai suoi due membri la sommatoria abbiamo $suma_n$ < $sumb_n$, se $sumb_n$ è convergente allora $sumb_n = S$ e quindi sostituendo abbiamo che $suma_n < S$ e quindi a maggior ragione $suma_n$ è convergente
Ora questa dimostrazione vale se e solo se la funzione sommatoria è iniettiva, e quindi la mia domanda è questa:
La funzione sommatoria è iniettiva?
Grazie in anticipo..
Mega-X
Risposte
Vuoi che non ci siano due sommatorie diverse che convergono allo stesso valore?
Senza andare a cercare cose astruse, se io ho:
$a_n = \{(1, "se "n=0),(0, "else"):}$
e
$b_n = \{(\frac{1}{2}, "se "n=0","1),(0, "else"):}$
allora $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n = 1$ e $\sum_{n=0}^{+\infty} b_n = 1$, quindi non direi proprio che la sommatoria è una funzione iniettiva, anche se prima di dire questo, andrebbero definiti il dominio da cui la funzione (sommatoria in questo caso) prende i valori e il codominio.
$a_n = \{(1, "se "n=0),(0, "else"):}$
e
$b_n = \{(\frac{1}{2}, "se "n=0","1),(0, "else"):}$
allora $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n = 1$ e $\sum_{n=0}^{+\infty} b_n = 1$, quindi non direi proprio che la sommatoria è una funzione iniettiva, anche se prima di dire questo, andrebbero definiti il dominio da cui la funzione (sommatoria in questo caso) prende i valori e il codominio.
aah ma comunque non c'era bisogno di considerare di applicare alla disequazione la funzione sommatoria, bastava che consideravo direttamente la sommatoria con la condizione che $a_n > b_n , AAn in RR$ per la 1. e $a_n < b_n, AAn in RR$ per la 2.
cmq grazie per avermi risposto tipper..
EDIT: $n$ è un numero naturale non reale..
cmq grazie per avermi risposto tipper..
EDIT: $n$ è un numero naturale non reale..
Di niente.
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