Somma tra arcocoseni

[CaMpIoN]

Dal coseno di una somma riesco a trovare che la somma tra due arcocoseni è quella sotto
\(\displaystyle \arccos x_1+\arccos x_2=\arccos \left(x_1x_2-\sqrt{1-x_1^2} \cdot \sqrt{1-x_2^2}\right)\)
Su wiki la stessa relazione viene scritta nel modo seguente:
\(\displaystyle \arccos x_1+\arccos x_2=
\begin{cases}
\arccos\left(x_1x_2-\sqrt{1-x_1^2}\sqrt{1-x_2^2}\right)&
x_1+x_2\ge0\\
2\pi-\arccos\left(x_1x_2-\sqrt{1-x_1^2}\sqrt{1-x_2^2}\right)&
x_1+x_2<0
\end{cases} \)

Ho provato ad ottenere la stessa relazione solo che ho problemi con le disequazioni, praticamente ottengo disuguaglianze diverse e per questo vorrei sapere se i procedimenti che faccio sono giusti ecco il ragionamento che faccio:

La somma di due arcocoseni può restituire angoli maggiori di 180 gradi, mentre un singolo arcocoseno può restituire angoli minori o uguali a 180 gradi pertanto si deve applicare questo aggiustamento nel caso in cui prima dell'uguale otterrei un angolo di 180 gradi, questo aggiustamento è proprio il secondo caso della relazione posta appena sopra e si dovrebbe quindi applicare se è verificata la seguente disequazione:
\(\displaystyle \arccos x_1+\arccos x_2>180 \)
Applico poi il coseno ad entrambi i membri e cambio di verso la disequazione:
\(\displaystyle \cos (\arccos x_1+\arccos x_2)<-1 \)
Applicando la formula del coseno di una somma e facendo delle sostituzioni analoghe alla formula iniziale trovata si ottiene un'uguaglianza irrazionale cioé
\(\displaystyle x_1x_2-\sqrt{1-x_1^2} \cdot \sqrt{1-x_2^2}<-1 \)
Da cui ottengo la forma
\(\displaystyle x_1x_2+1<\sqrt{(1-x_1^2) \cdot (1-x_2^2)}\)
Risolvendo la disequazione ottengo come soluzione una soluzione diversa a quella posta sopra, forse però ho sbagliato nello svolgimento della soluzione della disequazione o forse sono sbagliati i ragionamenti fatti, per questo chiedo, i procedimenti effettuati sono giusti o ce da correggere qualcosa?

[giammaria2]

Posto $y=arccosx_1+arccosx_2$, da $y>180°$ non deduci $cosy< -1$, diseguaglianza mai verificata. Deduci invece che sei nel terzo o quarto quadrante e che per portarti nel primo o secondo mantenendo lo stesso coseno devi fare $360°-y$.
Aggiungo due piccole note:
1) Mai mescolare gradi e radianti: o l'uno o l'altro.
2) Per adeguarmi al tuo post, ho scritto $y>180°$ ma è sbagliato perché potrebbe essere $y=360°+30°$ o simili; avrei dovuto scrivere $180°

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[CaMpIoN]

Sai che non ci ho fatto proprio caso della disuguaglianza mai verificata xD.
Penso di aver risolto, mi sono accorto che la disequazione era sbagliata se messa in quella forma, spostando però un arcocoseno dopo il disuguale si ottiene una disuguaglianza valida, cioè
\(\displaystyle \arccos x_1+\arccos x_2>180 \quad \to \quad \arccos x_1>180-\arccos x_2 \)
Applicando il coseno e effettuati un paio di passaggi si ottiene:
\(\displaystyle x_1<-x_2 \quad \to \quad x_1+x_2<0 \)
E quindi si ottiene la disequazione cercata, adesso devo provare con il seno, ma ora che ho il metodo penso non sarà tanto difficile.

Edit: Ho provato a dimostrare la formula anche per l'arcoseno, ma non mi trovo con i risultati e forse so' il perché, per l'arcoseno devo considerare anche il fatto che $\arcsin(-x)=-\arcsin x$, cioè l'arcoseno può restituire angoli negativi?