Somma serie geometrica

[polidagnfah]

io ho questo esercizio che mi richiede di calcolare n vendo a1=radice di 2, q=2 radical 2 e sn=9(4+radical2)
tenendo conto che la formula generale è sn=a1 x 1- q elevato a n/ 1-q
sostituendo con i numeri viene 9(4+radical2)= radical 2 x 2 radical 2 elevato alla n - 1/ 2 radical 2 - 1.
vorrei sapere come procedere, solo il primo passaggio, in allegato metto la foto per capire meglio

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Sostanzialmente sei interessata al calcolo dell'equazione:

[math]9\left(4 + \sqrt{2}\right) = \sqrt{2}\frac{\left(2\sqrt{2}\,\right)^n - 1}{\left(2\sqrt{2}\right) - 1}[/math]

, per

[math]n \in \mathbb{N}\\[/math]

.

Moltiplicando ambo i membri dell'equazione per

[math]\frac{2\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}}[/math]

, si ha:

[math]\frac{9\left(4 + \sqrt{2}\right)\left(2\sqrt{2} - 1\right)}{\sqrt{2}} = \left(2\sqrt{2}\,\right)^n - 1[/math]

,
quindi, sommando ambo i membri dell'equazione

[math]1[/math]

, si ha:

[math]\left(2\sqrt{2}\right)^n = 1 + \frac{9\left(4 + \sqrt{2}\right)\left(2\sqrt{2} - 1\right)}{\sqrt{2}}[/math]

.
Ora, semplificando il membro destro dell'equazione, si ottiene:

[math]\left(2\sqrt{2}\right)^n = 64[/math]

,
mentre applicando le proprietà delle potenze ad ambo i membri:

[math]\small \left(2^1\,2^{\frac{1}{2}}\right)^n = 2^6 \; \Rightarrow \; 2^{\frac{3}{2}n} = 2^6 \; \Rightarrow \; \frac{3}{2}n = 6 \; \Rightarrow \; n = 4\\[/math]

.

Spero sia sufficientemente chiaro. ;)