Somma di valori assoluti
perciò
$|x+y|<=|x|+|y|$
se per esempio $x=y=5 vv |x|=|y|=[5][-5]$
ma a parte un caso il resto non soddisfa la condizione del segno.
Quale sorta di osceno ragionamento mi ha portato a questo?
$|x+y|<=|x|+|y|$
se per esempio $x=y=5 vv |x|=|y|=[5][-5]$
ma a parte un caso il resto non soddisfa la condizione del segno.
Quale sorta di osceno ragionamento mi ha portato a questo?
Risposte
Non ho capito il problema qual è.
volevo capire perchè fosse $<=$ provando a considerare tutti i valori
quindi se si pongono x=y=5 ci saranno 4 risultati della somma in valore assoluto $|x+y|$ cioè 10 e -10 che si dovranno confrontare con $|x|+|y|$ rispettivamente 10/0/0/-10
adesso $|x+y|<= |x|+|y|$ nel primo caso in cui la somma al primo menbro sarà 10 (soltanto con x ed y entrambi positivi) e nel secondo caso considerando 0 e -10 (x ed y entrabi negativi e con segni discordi)
è giusto come ragionamento?
spero di essermi spiegato
quindi se si pongono x=y=5 ci saranno 4 risultati della somma in valore assoluto $|x+y|$ cioè 10 e -10 che si dovranno confrontare con $|x|+|y|$ rispettivamente 10/0/0/-10
adesso $|x+y|<= |x|+|y|$ nel primo caso in cui la somma al primo menbro sarà 10 (soltanto con x ed y entrambi positivi) e nel secondo caso considerando 0 e -10 (x ed y entrabi negativi e con segni discordi)
è giusto come ragionamento?
spero di essermi spiegato
"dRyW":No.
se si pongono x=y=5 ci saranno 4 risultati della somma in valore assoluto $|x+y|$ cioè 10 e -10 che si dovranno confrontare con $|x|+|y|$ rispettivamente 10/0/0/-10
Se $x=y=5$ allora $|x|=5$ , $|y|=5$ e $|x+y|=10$,
dunque $|x+y| <= |x|+|y|$ è vera perchè hai $10<=5+5$, cioè $10<=10$
ma quando si parla di valore assoluto non bisogna considerare che la variabile potrebbe assumere anche un valore negativo? Se no non ne vedo il bisogno.
Forse una tabella di questo genere ti può aiutare a visualizzare la situazione ....
$|(x, y, |x|, |y|, |x|+|y|, x+y, |x+y|), (, , , , , , ), (+5, +5, +5, +5, +10, +10, +10), (+5, -5, +5, +5, +10, 0, 0), (-5, +5, +5, +5, +10, 0, 0), (-5, -5, +5, +5, +10, -10, +10)|$
$|(x, y, |x|, |y|, |x|+|y|, x+y, |x+y|), (, , , , , , ), (+5, +5, +5, +5, +10, +10, +10), (+5, -5, +5, +5, +10, 0, 0), (-5, +5, +5, +5, +10, 0, 0), (-5, -5, +5, +5, +10, -10, +10)|$
"dRyW":Certamente. Solo che tu sei partito assumendo $x=y=5$, quindi entrambi positivi.
ma quando si parla di valore assoluto non bisogna considerare che la variabile potrebbe assumere anche un valore negativo?
Se $x=y=5$ non ci sono quattro possibilità. Ce n'è solo una.
continuo a non capire..
il valore assoluto servirebbe per indicare il valore generalmente assunto da una variabile quindi positivo e negativo.
Perchè si considera soltanto l'aspetto positivo?
il valore assoluto servirebbe per indicare il valore generalmente assunto da una variabile quindi positivo e negativo.
Perchè si considera soltanto l'aspetto positivo?
Sei tu che hai forzato a considerare solo l'aspetto positivo, ponendo $x=y=5$.
Cioè, ti sei messo tu in un caso particolare.
Cioè, ti sei messo tu in un caso particolare.
Tu confondi la funzione valore assoluto con la funzione segno.
La funzione valore assoluto la funzione così definita
\[
\lvert x \rvert:=
\begin{cases}
x \ \ \ \ \ \ \text{ se } x \geqslant 0\\
-x \ \ \ \text{ se } x < 0
\end{cases}
\]
Cioè è quella funzione che mantiene il numero che hai se questo è non negativo e lo manda invece nel suo opposto se è negativo.
La funzione con cui la confondi, la funzione che valuta il segno (non il valore) positivo o negativo del numero è la funzione segno così definita:
\[
\text{sgn}\left( x \right):=
\begin{cases}
+1 \ \ \ \text{ se } x>0\\
0 \ \ \ \ \ \ \text{ se } x=0\\
-1 \ \ \ \text{ se } x < 0
\end{cases}
\]
La funzione valore assoluto la funzione così definita
\[
\lvert x \rvert:=
\begin{cases}
x \ \ \ \ \ \ \text{ se } x \geqslant 0\\
-x \ \ \ \text{ se } x < 0
\end{cases}
\]
Cioè è quella funzione che mantiene il numero che hai se questo è non negativo e lo manda invece nel suo opposto se è negativo.
La funzione con cui la confondi, la funzione che valuta il segno (non il valore) positivo o negativo del numero è la funzione segno così definita:
\[
\text{sgn}\left( x \right):=
\begin{cases}
+1 \ \ \ \text{ se } x>0\\
0 \ \ \ \ \ \ \text{ se } x=0\\
-1 \ \ \ \text{ se } x < 0
\end{cases}
\]
-beh non ho forzato intenzionalemnte, intendevo 5 come valore neutro a cui successivamente si sarebbe messo in discussione il segno perchè |5|
-bene, qual e la differenza tra funzione segno e valore assoluto?
perchè a questo punto non so più come mi dovrei comportare con un'operazione del genere
$|x+y|<=|x|+|y|$
dal punto di vista pratico, andando ad assegnare di valori distinti
-bene, qual e la differenza tra funzione segno e valore assoluto?
perchè a questo punto non so più come mi dovrei comportare con un'operazione del genere
$|x+y|<=|x|+|y|$
dal punto di vista pratico, andando ad assegnare di valori distinti
Come qual è la differenza tra valore assoluto e funzione segno?
Rileggi le definizioni.
Rileggi le definizioni.
ok dimentica la domanda...
che cos'è $|x|$ ?
dove sta la differenza logica della formula sopracitata che la differenzia dalla stessa senza il valore assoluto?
che cos'è $|x|$ ?
dove sta la differenza logica della formula sopracitata che la differenzia dalla stessa senza il valore assoluto?
Ho come l'impressione che non ci stiamo capendo, anzi ne ho la certezza.
Cominciamo dall'inizio. I tuoi problemi sono sorti con la seguente disuguaglianza
\[
\lvert x+y \rvert \leqslant \lvert x \rvert + \lvert y \rvert
\]
In questa disuguaglianza ciascun termine è un valore assoluto. La definizione rigorosa di valore assoluto è questa.
Def. Si dice valore assoluto la funzione di \(\mathbb{R}\) in \(\mathbb{R}\) definita ponendo
\[
\lvert x \rvert :=
\begin{cases}
x \ \ \ \ \ \ \text{ se } x \geqslant 0\\
-x \ \ \ \text{ se } x < 0
\end{cases}
\]
Questo cosa significa? Significa che in quella disuguaglianza iniziale, ciascun termine va interpretato secondo la definizione rigorosa di valore assoluto, ovvero se, per esempio \(x = +9\) e \(y = - 2\) succede che, per la definizione data \(\lvert x \rvert = \lvert +9 \rvert = +9\), \(\lvert y \rvert = \lvert -2 \rvert = +2\), \(\lvert x+y \rvert = \lvert (-9+2) \rvert = \lvert - 7 \rvert = +7\), sicché quella disuguaglianza diventa \(+7 \leqslant +9 + 2\) che è ovviamente vera.
Chiaro?
Cominciamo dall'inizio. I tuoi problemi sono sorti con la seguente disuguaglianza
\[
\lvert x+y \rvert \leqslant \lvert x \rvert + \lvert y \rvert
\]
In questa disuguaglianza ciascun termine è un valore assoluto. La definizione rigorosa di valore assoluto è questa.
Def. Si dice valore assoluto la funzione di \(\mathbb{R}\) in \(\mathbb{R}\) definita ponendo
\[
\lvert x \rvert :=
\begin{cases}
x \ \ \ \ \ \ \text{ se } x \geqslant 0\\
-x \ \ \ \text{ se } x < 0
\end{cases}
\]
Questo cosa significa? Significa che in quella disuguaglianza iniziale, ciascun termine va interpretato secondo la definizione rigorosa di valore assoluto, ovvero se, per esempio \(x = +9\) e \(y = - 2\) succede che, per la definizione data \(\lvert x \rvert = \lvert +9 \rvert = +9\), \(\lvert y \rvert = \lvert -2 \rvert = +2\), \(\lvert x+y \rvert = \lvert (-9+2) \rvert = \lvert - 7 \rvert = +7\), sicché quella disuguaglianza diventa \(+7 \leqslant +9 + 2\) che è ovviamente vera.
Chiaro?
si, quindi qualunque sia il segno iniziale assunto dalla variabile una volta imposto come valore assoluto sara SEMPRE positivo...
io invece pensavo che il valore assoluto doveva essere sempre scomposto in una parte positiva ed uin altra negativa
ok grazie,un piccolo passo verso la comprensione
io invece pensavo che il valore assoluto doveva essere sempre scomposto in una parte positiva ed uin altra negativa
ok grazie,un piccolo passo verso la comprensione
Prego.
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