Somma di sinusoidi equiperiodo ma fase e ampiezza diverse
Salve, spero sia la sezione giusta.
Diversamente mi scuso sin d'ora.
Allora, il problema è il seguente.
Sono date due funzioni sinusoidali di egual periodo, ma fase ed ampiezza diverse del tipo:
$y_1=A*sen(omegat+alpha)$
e
$y_2=B*sen(omegat+beta)$
Si vuole eseguire la somma tra queste due funzioni:
$y=y_1+y_2$
Per semplicità supponiamo che $alpha>beta$ e che entrambi siano inferiori a $pi/2$.
Una funzione sinusoidale è sempre rappresentabile come un vettore rotante di determinata ampiezza, fase e velocità angolare. La proiezione lungo l'asse y di tale vettore rappresenta, istante per istante, la funzione sinusoidale in esame.
$y_1$, ad esempio, è rappresentabile come un vettore rotante, con estremo fisso nell'origine di un sistema di riferimento cartesiano, ed estremo mobile rotante con velocità angolare costante $omega$, ampiezza $A$ e posizionato, all'istante $t=0$, lungo una retta che forma un angolo con le ascisse pari ad $alpha$.
Usando tale forma di rappresentazione, ed adottando anche per $y_2$ lo stesso sistema di riferimento cartesiano, si può dimostrare, grazie a considerazioni geometriche, che il vettore somma $y$ vale:
$y=C*sen(omegat+gamma)$
dove:
$C=sqrt(A^2+B^2+2ABcos(alpha-beta))$
e
$gamma=arctg((Asenalpha+Bsenbeta)/(Acosalpha+Bcosbeta))$
L'ampiezza C del vettore somma discende dall'applicazione del teorema di Carnot. L'angolo $gamma$, invece, deriva dall'applicazione della definizione di tangente trigonometrica. Osservando gli enti geometrici descritti è facile convincersi di quanto affermato.
Ed ora vengo alla domanda (scusate per la prolissità della premessa). Qualcuno è a conoscenza se la funzione $y$ è ottenibile grazie a considerazioni esclusivamente di tipo analitico applicando, ad esempio, alcune delle note formule goniometriche e trigonometriche (duplicazione, bisezione, Werner, prostaferesi, ecc.)?
Ho provato a seguire questa strada ma, debbo confessare, non sono particolarmente ferrato con tali strumenti e, quindi, non sono riuscito nell'intento.
Spero nell'aiuto di qualcuno (ed in questa comunità ve ne sono tanti) più abile di me.
Grazie in anticipo.
Diversamente mi scuso sin d'ora.
Allora, il problema è il seguente.
Sono date due funzioni sinusoidali di egual periodo, ma fase ed ampiezza diverse del tipo:
$y_1=A*sen(omegat+alpha)$
e
$y_2=B*sen(omegat+beta)$
Si vuole eseguire la somma tra queste due funzioni:
$y=y_1+y_2$
Per semplicità supponiamo che $alpha>beta$ e che entrambi siano inferiori a $pi/2$.
Una funzione sinusoidale è sempre rappresentabile come un vettore rotante di determinata ampiezza, fase e velocità angolare. La proiezione lungo l'asse y di tale vettore rappresenta, istante per istante, la funzione sinusoidale in esame.
$y_1$, ad esempio, è rappresentabile come un vettore rotante, con estremo fisso nell'origine di un sistema di riferimento cartesiano, ed estremo mobile rotante con velocità angolare costante $omega$, ampiezza $A$ e posizionato, all'istante $t=0$, lungo una retta che forma un angolo con le ascisse pari ad $alpha$.
Usando tale forma di rappresentazione, ed adottando anche per $y_2$ lo stesso sistema di riferimento cartesiano, si può dimostrare, grazie a considerazioni geometriche, che il vettore somma $y$ vale:
$y=C*sen(omegat+gamma)$
dove:
$C=sqrt(A^2+B^2+2ABcos(alpha-beta))$
e
$gamma=arctg((Asenalpha+Bsenbeta)/(Acosalpha+Bcosbeta))$
L'ampiezza C del vettore somma discende dall'applicazione del teorema di Carnot. L'angolo $gamma$, invece, deriva dall'applicazione della definizione di tangente trigonometrica. Osservando gli enti geometrici descritti è facile convincersi di quanto affermato.
Ed ora vengo alla domanda (scusate per la prolissità della premessa). Qualcuno è a conoscenza se la funzione $y$ è ottenibile grazie a considerazioni esclusivamente di tipo analitico applicando, ad esempio, alcune delle note formule goniometriche e trigonometriche (duplicazione, bisezione, Werner, prostaferesi, ecc.)?
Ho provato a seguire questa strada ma, debbo confessare, non sono particolarmente ferrato con tali strumenti e, quindi, non sono riuscito nell'intento.
Spero nell'aiuto di qualcuno (ed in questa comunità ve ne sono tanti) più abile di me.
Grazie in anticipo.
Risposte
Hai pensato all'identità di Eulero $e^(ialpha)=cosalpha+isinalpha$? In questo genere di operazioni spesso torna utile.
Ho provato ad applicare la formula di addizione ad entrambi i vettori e poi quella di prostaferesi, ma il procedimento è molto noioso e ho più volte fatto errore in qualche segno, tuttavia credo che quella sia la strada più pedissequa.
Hai pensato all'identità di Eulero $e^(ialpha)=cosalpha+isinalpha$ In questo genere di operazioni spesso torna utile.
Si, quella è una strada che conosco e che risulta molto semplice (rispetto, ad esempio, a quella geometrica che ho delineato nel post di apertura).
No, vorrei conoscere, invece, il percorso analitico che passa per la trigonometria e goniometria classica.
Ho provato ad applicare la formula di addizione ad entrambi i vettori e poi quella di prostaferesi, ma il procedimento è molto noioso e ho più volte fatto errore in qualche segno, tuttavia credo che quella sia la strada più pedissequa.
Ok, proverò anch'io per vedere se riesco a giungere alla tesi.
Grazie.
Suggerisco i seguenti calcoli, anche se non brevissimi: con le formule di somma ottengo $y=p sin omega t+q cos omega t$, poi dalle formule $p=Ccos gamma$ e $q=C sin gamma$ ricavo $C$ e $gamma$
Aggiungo una domanda, che probabilmente rivela la mia estrema ignoranza: in che modo avete usato l'identità di Eulero? Dite che è una strada molto semplice, ma io non riesco a vedere come risolva questo particolare problema. Grazie.
Aggiungo una domanda, che probabilmente rivela la mia estrema ignoranza: in che modo avete usato l'identità di Eulero? Dite che è una strada molto semplice, ma io non riesco a vedere come risolva questo particolare problema. Grazie.
Intendevo dire che se ragioni in termini di numeri complessi il problema, almeno per quanto mi riguarda, è più semplice.
Infatti, dalla relazione di Eulero:
$e^(jalpha)=cosalpha+jsenalpha$
puoi riscrivere le due funzioni armoniche di base nel seguente modo:
$cosalpha=(e^(jalpha)+e^(-jalpha))/2$
e
$senalpha=(e^(jalpha)-e^(-jalpha))/(2j)$
Da ciò discende che le due funzioni $y_1$ e $y_2$ definite nel post di apertura le puoi riscrivere nel modo:
$Asen(omegat+alpha)=A(e^(j(omegat+alpha))-e^(-j(omegat+alpha)))/(2j)$
$Bsen(omegat+beta)=B(e^(j(omegat+beta))-e^(-j(omegat+beta)))/(2j)$
Procedendo su questa strada ti trovi ad operare con numeri complessi. E' noto, inoltre, che la somma di due numeri complessi è un numero complesso avente come parte reale la somma algebrica delle rispettive parti reali e come parte immaginaria la somma algebrica delle rispettive parti immaginarie.
Ottenuto tale numero si determina il modulo come radice quadrata della somma del quadrato della parte reale e del quadrato della parte immaginaria. E, inoltre, l'angolo che il vettore rappresentativo del numero complesso in questione forma con l'asse reale lo si trova facendo l'arcotagente del rapporto tra la parte immaginaria e la parte reale.
Spero sia chiaro ciò che intendevo (anche se non ho svolto tutti i calcoli).
In merito al suggerimento che dai nel post precedente me lo vedo con calma (adesso vado di corsa) e poi ti faccio sapere se è ciò che sto cercando.
Grazie.
Grazie; non avevo pensato alle formule per seno e coseno. I calcoli mi sembrano però anche più lunghi che con il mio metodo, soprattutto se noti (ma penso che non occorra suggerirtelo) che è $C^2=p^2+q^2$ e $tg gamma=q/p$.
Si, concordo e ti ringrazio per il suggerimento.
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