Soluzioni del seguente sistema
Non sapevo bene dove postare questa domanda, essendo essa stata posta come quesito di una gara matematica che prende luogo all'università di Firenze. Alla gara prendono parte studenti di 4a e 5a superiore che vengano segnalati dai propri professori. Parteciperò a questa gara giovedi. Ora, guardando i testi delle edizioni passate, mi sono imbattuto in un quesito per il quale ho bisogno del vostro aiuto:
Determinare tutte le coppie di numeri interi positivi (x; y) e tutte le coppie di primi distinti (p; q), con p e q maggiori di 1, tali che:
$ {(x^2-y^2=p^6), (x^3-y^3=p^4q^2):} $
(Ricordo che è un sistema, ma non riuscivo ad inserire la graffa)
Si capisce intanto che $x>y$ ma poi.. Non so proprio che strada prendere..
[mod="WiZaRd"]
Inserita la parentesi graffa.
[/mod]
Determinare tutte le coppie di numeri interi positivi (x; y) e tutte le coppie di primi distinti (p; q), con p e q maggiori di 1, tali che:
$ {(x^2-y^2=p^6), (x^3-y^3=p^4q^2):} $
(Ricordo che è un sistema, ma non riuscivo ad inserire la graffa)
Si capisce intanto che $x>y$ ma poi.. Non so proprio che strada prendere..
[mod="WiZaRd"]
Inserita la parentesi graffa.
[/mod]
Risposte
Ciao.
La strategia è di fare considerazioni sulla prima equazione.
Hai
$(x-y)(x+y)=p^6$ ma siccome $p$ è appunto primo, i due fattori al primo membro saranno potenze di $p$ per forza (proprio perché non ci sono altri divisori possibili oltre a $1,p, p^2, p^3, p^4, p^5, p^6$
Ma d'altra parte vedi subito che $x-y$ è minore di $x+y$, nemmeno può essere uguale (sarebbe altrimenti $x-y=x+y$ cioè $y=0$, ma il testo parla di interi positivi, quindi non nulli).
Cioè $x-y$ può valere $1,p,p^2$.
Se ad esempio fosse infatti $x-y=p^4$, allora hai $x+y=p^2$, contro il fatto che la differenza è minore della somma.
Ora devo andare, spero che fin qui sia tutto chiaro. Ciao!
La strategia è di fare considerazioni sulla prima equazione.
Hai
$(x-y)(x+y)=p^6$ ma siccome $p$ è appunto primo, i due fattori al primo membro saranno potenze di $p$ per forza (proprio perché non ci sono altri divisori possibili oltre a $1,p, p^2, p^3, p^4, p^5, p^6$
Ma d'altra parte vedi subito che $x-y$ è minore di $x+y$, nemmeno può essere uguale (sarebbe altrimenti $x-y=x+y$ cioè $y=0$, ma il testo parla di interi positivi, quindi non nulli).
Cioè $x-y$ può valere $1,p,p^2$.
Se ad esempio fosse infatti $x-y=p^4$, allora hai $x+y=p^2$, contro il fatto che la differenza è minore della somma.
Ora devo andare, spero che fin qui sia tutto chiaro. Ciao!
Non ho capito bene l'ultimo passaggio. Questo problema mi sta facendo impazzire! 
Quindi $(x-y)=1$ o $(x-y)=p$ o $(x-y)=p^2$. Purtroppo sostituendo non riesco a escludere soluzioni...
$x^3-y^3= (x-y)(x^2+y^2+xy)=(x-y)[(x+y)^2-xy]$
Dunque $(x-y)[(x+y)^2-xy]=p^4q^2$
E tu conosci quanto possono valere sia $x-y$ che $x+y$ .... Quindi puoi ricavarti quanto vale $xy$
Dunque $(x-y)[(x+y)^2-xy]=p^4q^2$
E tu conosci quanto possono valere sia $x-y$ che $x+y$ .... Quindi puoi ricavarti quanto vale $xy$
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