Soluzione equazione secondo grado con radicali
Salve a tutti.
Vi scrivo perchè non riesco a risolvere la seguente equazione
$ 2x^2 - (1+2sqrt(2))x + sqrt(2)=0 $
Ho provato diversi modi; ve ne posto uno:
Applico semplicemente la formula risolutiva (ometto quì alcuni passaggi per riassumere)
$x = (1+2sqrt(2) \mp sqrt((1+2sqrt(2))^2 - 8sqrt(2))) /4$
$x = (1+2sqrt(2) \mp sqrt(9 - 8sqrt(2))) /4$
A questo punto noto che il delta è minore di zero, quindi non ci sono soluzioni in R. Tuttavia continuo, dato che nel libro c'è il risultato, cercando di ridurre il più possibile l'espressione
$x = (1+2sqrt(2) \mp (9 - 8sqrt(2))^(1/2)) /4$
$x = (1+2sqrt(2) \mp (3 - 2^(7/4))) /4$
$x_1 = (1+2sqrt(2) - 3 + 2^(7/4)) /4 = (-2 + 2sqrt(2) + 2^(7/4))/4$
Ora, spezzando la frazione, semplificando e usando le proprietà delle potenze arrivo al seguente risultato:
$-1/2 + 1/2 sqrt(2) + root(4)(2^3) $
Arrivato quì non so come ridurre ulteriormente. Lo stesso se faccio la seconda radice, cioè usando il +.
Ho provato a fare un'altra cosa, e cioè elevare tutti i termini della equazione al quadrato in modo da eleminare le radici. Risolvendo l'equazione così ottenuta ottengo il risultato riportato nel libro, cioè una radice viene $1/2$ e l'altra viene $sqrt(2)$. Dal momento che sto lavorando nell'insieme dei Razionali escludo la seconda radice ottenuta.
Ma mi sorge un dubbio e cioè non so fino a che punto sia lecito elevare al quadrato l'equazione e non capisco perchè risolvendo l'equazione normalmente non arrivo a nulla ed anzi mi risulta il delta minore di 0 (eppure l'equazione ammette soluzioni, infatti sostituendo sia $1/2$ sia $sqrt(2)$ l'equazione è soddisfatta).
Vi chiedo quindi chiarimento riguardo questa equazione.
Grazie in anticipo per l'aiuto.
Vi scrivo perchè non riesco a risolvere la seguente equazione
$ 2x^2 - (1+2sqrt(2))x + sqrt(2)=0 $
Ho provato diversi modi; ve ne posto uno:
Applico semplicemente la formula risolutiva (ometto quì alcuni passaggi per riassumere)
$x = (1+2sqrt(2) \mp sqrt((1+2sqrt(2))^2 - 8sqrt(2))) /4$
$x = (1+2sqrt(2) \mp sqrt(9 - 8sqrt(2))) /4$
A questo punto noto che il delta è minore di zero, quindi non ci sono soluzioni in R. Tuttavia continuo, dato che nel libro c'è il risultato, cercando di ridurre il più possibile l'espressione
$x = (1+2sqrt(2) \mp (9 - 8sqrt(2))^(1/2)) /4$
$x = (1+2sqrt(2) \mp (3 - 2^(7/4))) /4$
$x_1 = (1+2sqrt(2) - 3 + 2^(7/4)) /4 = (-2 + 2sqrt(2) + 2^(7/4))/4$
Ora, spezzando la frazione, semplificando e usando le proprietà delle potenze arrivo al seguente risultato:
$-1/2 + 1/2 sqrt(2) + root(4)(2^3) $
Arrivato quì non so come ridurre ulteriormente. Lo stesso se faccio la seconda radice, cioè usando il +.
Ho provato a fare un'altra cosa, e cioè elevare tutti i termini della equazione al quadrato in modo da eleminare le radici. Risolvendo l'equazione così ottenuta ottengo il risultato riportato nel libro, cioè una radice viene $1/2$ e l'altra viene $sqrt(2)$. Dal momento che sto lavorando nell'insieme dei Razionali escludo la seconda radice ottenuta.
Ma mi sorge un dubbio e cioè non so fino a che punto sia lecito elevare al quadrato l'equazione e non capisco perchè risolvendo l'equazione normalmente non arrivo a nulla ed anzi mi risulta il delta minore di 0 (eppure l'equazione ammette soluzioni, infatti sostituendo sia $1/2$ sia $sqrt(2)$ l'equazione è soddisfatta).
Vi chiedo quindi chiarimento riguardo questa equazione.
Grazie in anticipo per l'aiuto.
Risposte
Sviluppando il quadrato ti sei perso il doppio prodotto $(1+2sqrt2)^2=1+4sqrt2+8=9+4sqrt2$ e non semplicemente 9 come hai scritto tu.
Di seguito hai inserito errori anche più gravi, come $sqrt(a+b)=sqrta+sqrtb$.
Di seguito hai inserito errori anche più gravi, come $sqrt(a+b)=sqrta+sqrtb$.
Grazie per l'aiuto. Ho risolto.
Prego
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo