Solidi, Sezioni e Integrali
Salve, a pochi giorni dall'esame di maturità e dalla seconda prova mi accorgo di non saper integrare un solido qualsiasi..
Ebbene sono andato a cercare sul libro ma dedica a questo tipo di esercizi poche righe e non ci ho capito niente..
Quello che mi sfugge è cos'è esattamente una sezione e in base a che facendo la sommatoria delle sezioni che compongono il solido ottengo il suo volume..
Inoltre non ho capito il significato della formula
$ int_(a)^(b) S(x) dx $
dove S(x)= A(x)h= Sezione del solido..
Per finire ci sarebbe un esercizio che coinvolge proprio i solidi e gli integrali che vorrei usare come esempio del fatto che non capisco dove mettere le mani :
Il settore circolare di raggio OB=2 e angolo 60 gradi è la base di un solido W le cui sezioni ottenute con piani perpendicolari a OB sono tutte quadrati. Calcolare il volume di W.
Non so come applicare la formuletta precendente perchè per prima cosa non riesco a visualizzare W..cioè non so proprio come possa uscire fuori dalle sezioni quadrate...e poi h a cosa si riferisce? all'altezza del solido o della sezione? e quindi S(x) non rappresenta l'area della sezione ma cosa?! :S
la confusione e l'ansia non mi fanno capire più niente..
Ebbene sono andato a cercare sul libro ma dedica a questo tipo di esercizi poche righe e non ci ho capito niente..
Quello che mi sfugge è cos'è esattamente una sezione e in base a che facendo la sommatoria delle sezioni che compongono il solido ottengo il suo volume..
Inoltre non ho capito il significato della formula
$ int_(a)^(b) S(x) dx $
dove S(x)= A(x)h= Sezione del solido..
Per finire ci sarebbe un esercizio che coinvolge proprio i solidi e gli integrali che vorrei usare come esempio del fatto che non capisco dove mettere le mani :
Il settore circolare di raggio OB=2 e angolo 60 gradi è la base di un solido W le cui sezioni ottenute con piani perpendicolari a OB sono tutte quadrati. Calcolare il volume di W.
Non so come applicare la formuletta precendente perchè per prima cosa non riesco a visualizzare W..cioè non so proprio come possa uscire fuori dalle sezioni quadrate...e poi h a cosa si riferisce? all'altezza del solido o della sezione? e quindi S(x) non rappresenta l'area della sezione ma cosa?! :S
la confusione e l'ansia non mi fanno capire più niente..
Risposte
Ma c'è un disegno abbinato all'esercizio e il testo è completo ?
Così com'è non è chiaro al 100% anche se si possono fare ulteriori ipotesi.
Così com'è non è chiaro al 100% anche se si possono fare ulteriori ipotesi.
Quinzio non c'è nessun disegno nel problema...si tratta di un esercizio dato all'esame di maturità 2009, è un punto del problema 2 ma si puo' tranquillamente estrapolare dal contesto perchè non c'è nessuna descrizione grafica del solido, l'unica informazione è che il settore circolare è la base per un solido che a sua volta dovrebbe essere generato da sezioni quadrate..
Un piano perpendicolare ad OB interseca la base con una retta perpendicolare ad OB; il segmento di retta compreso in quel settore è il lato del quadrato. Il solido è formato da due parti, a seconda che venga intersecato il segmento OA o l'arco AB (A è l'altro vertice del settore). Prendo origine in O e B sull'asse x.
Nel primo caso, dette P l'intersezione con OA e P'(x,0) la proiezione di P su OB, il lato è $PP'=x sqrt 3$, quindi $S(x)=(x sqrt 3)^2=3x^2$.
Nel secondo caso, dette Q l'intersezione con l'arco AB e Q'(x,0) la proiezione di Q su OB, il lato è $Q Q'=sqrt(OQ^2-OQ'^2)=sqrt(4-x^2)$, quindi $S(x)=4-x^2$.
Il volume è quindi
$V=int_0^1 3x^2dx+int_1^2(4-x^2)dx$
Quanto al visualizzare il solido, la prima parte è una piramide con altezza sull'asse x; non vedo bene la seconda parte.
Nel primo caso, dette P l'intersezione con OA e P'(x,0) la proiezione di P su OB, il lato è $PP'=x sqrt 3$, quindi $S(x)=(x sqrt 3)^2=3x^2$.
Nel secondo caso, dette Q l'intersezione con l'arco AB e Q'(x,0) la proiezione di Q su OB, il lato è $Q Q'=sqrt(OQ^2-OQ'^2)=sqrt(4-x^2)$, quindi $S(x)=4-x^2$.
Il volume è quindi
$V=int_0^1 3x^2dx+int_1^2(4-x^2)dx$
Quanto al visualizzare il solido, la prima parte è una piramide con altezza sull'asse x; non vedo bene la seconda parte.
ma in pratica spezzo il solido in due giusto? la prima parte è la piramide e la sconda parte compresa tra la corda AB e l'arco AB..
a questo punto però non potrei calcolare il volume della piramide normalmente? cioè base per altezza diviso 3? e l'altezza come la posso trovare visto che so sia il raggio che l'angolo?
Poi non mi è per nulla chiaro il discorso delle sezioni quadrate..insomma il lato che chiamo x lo scelgo arbitrariamente in ogni caso?
Il mio problema non è solo con quell'esercizio ma con tutti gli esercizi di questo tipo..non c'è un algoritmo o una procedura più o meno standard per affrontare questo tipo di esercizi?
a questo punto però non potrei calcolare il volume della piramide normalmente? cioè base per altezza diviso 3? e l'altezza come la posso trovare visto che so sia il raggio che l'angolo?
Poi non mi è per nulla chiaro il discorso delle sezioni quadrate..insomma il lato che chiamo x lo scelgo arbitrariamente in ogni caso?
Il mio problema non è solo con quell'esercizio ma con tutti gli esercizi di questo tipo..non c'è un algoritmo o una procedura più o meno standard per affrontare questo tipo di esercizi?
Detta H la proiezione di A su OB, il triangolo OAH è mezzo triangolo equillatero, quindi l'altezza della piramide è OH=1; la sua base è disposta su un piano perpendicolare all'asse x ed è un quadrato di lato $AH=sqrt 3$. Con questi dati puoi calcolare il volume della piramide con la formula che dici ma anche l'integrale è facilissimo.
La procedura standard c'è e il tuo libro la riporta sicuramente; comunque te la spiego anch'io, esemplificandola col nostro problema. Come prima cosa devi scegliere un asse x nel modo più opportuno; di solito la scelta migliore è un asse di simmetria o l'altezza del solido; noi abbiamo scelto OB. Poi, detto in termini banali, pensi di tagliare il solido a fette sottilissime, ognuna corrispondente ad una certa \(\displaystyle x \); detto in termini matematici, intersechi il solido con piani perpendicolari all'asse \(\displaystyle x \) a distanza \(\displaystyle dx \) fra loro. Per ogni intersezione (= fetta) ti chiedi che forma e che superficie \(\displaystyle S(x) \) ha, calcolandola in funzione di \(\displaystyle x \), cioè della posizione del piano (\(\displaystyle x \) non è un lato). Nel problema in esame il testo stesso dice che la forma è un quadrato e quindi ne calcoli il lato, PP' o QQ' a seconda dei casi. Ora calcoli il volume di ogni fetta: ha come base quella superficie e come altezza \(\displaystyle dx \), quindi il suo volume è $dV=S(x)dx$. Integrando hai il volume totale.
La procedura standard c'è e il tuo libro la riporta sicuramente; comunque te la spiego anch'io, esemplificandola col nostro problema. Come prima cosa devi scegliere un asse x nel modo più opportuno; di solito la scelta migliore è un asse di simmetria o l'altezza del solido; noi abbiamo scelto OB. Poi, detto in termini banali, pensi di tagliare il solido a fette sottilissime, ognuna corrispondente ad una certa \(\displaystyle x \); detto in termini matematici, intersechi il solido con piani perpendicolari all'asse \(\displaystyle x \) a distanza \(\displaystyle dx \) fra loro. Per ogni intersezione (= fetta) ti chiedi che forma e che superficie \(\displaystyle S(x) \) ha, calcolandola in funzione di \(\displaystyle x \), cioè della posizione del piano (\(\displaystyle x \) non è un lato). Nel problema in esame il testo stesso dice che la forma è un quadrato e quindi ne calcoli il lato, PP' o QQ' a seconda dei casi. Ora calcoli il volume di ogni fetta: ha come base quella superficie e come altezza \(\displaystyle dx \), quindi il suo volume è $dV=S(x)dx$. Integrando hai il volume totale.
Grazie mille 
Il libro non è così chiaro..
Il libro non è così chiaro..
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