SNS Pisa, anno 2003 n 2
Salve, vi propongo questo problema preso dal test d'ingresso di matematica delle Normale, anno 2003.
SU wikipedia,a questo link c'è questa soluzione:
Sinceramente non riesco a capirlo, forse perché non fa uso neanche di un'immagine. In effetti proprio il testo non mi pare chiaro circa la posizione delle rette. Ci dice solo che sono sullo stesso piano, ma possono anche essere parallele, non dice che si incontrano. Quindi se sono parallele qualsiasi punto equidistante dai due assi goderà della proprietà richiesta.
Voi che ne dite? Considerando anche che le rette si incontrino in un punto (credo che la traccia voglia dire questo), la soluzione di wikipedia può essere accettata (e compresa)?
Ciao e grazie
Sono date le rette r ed s. Due punti si muovono rispettivamente su r e su s di velocità rettilinea uniforme. Determinare un punto del piano cui appartengono r ed s che è sempre alla stessa distanza dai due punti.
SU wikipedia,a questo link c'è questa soluzione:
Siano r ed s le due rette incidenti in O. Se all'istante 0 i due punti si trovano entrambi in O, la soluzione è banale, in quanto il punto cercato è proprio O. Nel caso generale, la costruzione del punto richiesto si può effettuare nel modo seguente:
1. all'istante 0, i due punti si trovino, rispettivamente, in P0 su r ed in Q0 su s; sia, allora, a l'asse di P0Q0;
2. all'istante t1, i due punti si troveranno, rispettivamente, in P1 su r ed in Q1 su s, con P0P1=Q0Q1 (uguale velocità costante); sia, allora, b l'asse di P1Q1;
3. Il punto C, intersezione degli assi a e b prima considerati, ha la proprietà richiesta.
Infatti, osserviamo, innanzitutto, che i triangoli CQ0Q1 e CP0P1 sono congruenti per il terzo criterio, essendo, come detto, P0P1=Q0Q1 (velocità uguale e costante per i due punti), CP0=CQ0, in quanto C appartiene all'asse a e CP1=CQ1, in quanto C appartiene all'asse b. Ne consegue che gli angoli (C P0 r) e (C Q0 s) sono congruenti.
Se ora si considerano le posizioni P e Q dei due punti al generico istante t, si avrà senz'altro CP=CQ, in quanto i triangoli CP0P e CQ0Q saranno congruenti per il primo criterio, essendo CP0=CQ0 (perché C è su a), P0P=Q0Q (velocità uguale e costante), l'angolo (C P0 P)=(C Q0 Q) (come si è già dimostrato).
Sinceramente non riesco a capirlo, forse perché non fa uso neanche di un'immagine. In effetti proprio il testo non mi pare chiaro circa la posizione delle rette. Ci dice solo che sono sullo stesso piano, ma possono anche essere parallele, non dice che si incontrano. Quindi se sono parallele qualsiasi punto equidistante dai due assi goderà della proprietà richiesta.
Voi che ne dite? Considerando anche che le rette si incontrino in un punto (credo che la traccia voglia dire questo), la soluzione di wikipedia può essere accettata (e compresa)?
Ciao e grazie
Risposte
Non ti do la risposta completa, ma solo qualche indicazione che dovrebbe aiutarti a capire la soluzione che hai trovato.
1) Scritte del tipo P0 o P1Q0 significanp $P_0$ e $P_1Q_0$; l'indice zero indica la posizione iniziale.
2) Se un punto è equidistante da altri due, si trova sul loro asse: bisogna quindi tracciare l'asse per la posizione iniziale e quello dopo un certo tempo. La loro intersezione è il punto cercato, purché si riesca a dimostrare che anche dopo un diverso intervallo di tempo l'asse passa di lì.
3) I due punti devono muoversi con la stessa velocità (ipotesi non scritta ma necessaria) e puoi verificarlo nel caso facile in cui i due moti iniziano da una stesso punto O: con velocità diverse, al muoversi dei punti l'asse si sposta parallelamente a se stesso.
4) Se le due rette sono parallele, bisogna distinguere fra moti concordi e discordi. Con moti concordi, l'asse si sposta parallelamente a se stesso e il punto non esiste; con moti discordi, il punto medio fra le posizioni iniziali è sempre punto medio fra le posizioni assunte.
1) Scritte del tipo P0 o P1Q0 significanp $P_0$ e $P_1Q_0$; l'indice zero indica la posizione iniziale.
2) Se un punto è equidistante da altri due, si trova sul loro asse: bisogna quindi tracciare l'asse per la posizione iniziale e quello dopo un certo tempo. La loro intersezione è il punto cercato, purché si riesca a dimostrare che anche dopo un diverso intervallo di tempo l'asse passa di lì.
3) I due punti devono muoversi con la stessa velocità (ipotesi non scritta ma necessaria) e puoi verificarlo nel caso facile in cui i due moti iniziano da una stesso punto O: con velocità diverse, al muoversi dei punti l'asse si sposta parallelamente a se stesso.
4) Se le due rette sono parallele, bisogna distinguere fra moti concordi e discordi. Con moti concordi, l'asse si sposta parallelamente a se stesso e il punto non esiste; con moti discordi, il punto medio fra le posizioni iniziali è sempre punto medio fra le posizioni assunte.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo