Sistemi tra curve
Ciao a tutti!
Ho un altro problema
allora qui dice:
La circonderenza $C$ di centro $O(0;0)$ e la parabola $P$ avente per asse l'asse $y$ sono tangenti in $A(1;1).
Trovare le equazioni di $C$ e $P$.
Facile avrei detto.
circonderenza di centro O(0;0): $x^2+y^2=r^2
parabola con asse y: $y=ax^2+c$
teoricamente basterebbe mettere a sistema queste due equazioni tenendo conto di $x=1$ e $y=1$ , porre il delta dell'equazione risultante uguale a zero e saremmo a posto..ma non è così.
Dove sbaglio? Come si fa in realta?
Ho un altro problema
allora qui dice:
La circonderenza $C$ di centro $O(0;0)$ e la parabola $P$ avente per asse l'asse $y$ sono tangenti in $A(1;1).
Trovare le equazioni di $C$ e $P$.
Facile avrei detto.
circonderenza di centro O(0;0): $x^2+y^2=r^2
parabola con asse y: $y=ax^2+c$
teoricamente basterebbe mettere a sistema queste due equazioni tenendo conto di $x=1$ e $y=1$ , porre il delta dell'equazione risultante uguale a zero e saremmo a posto..ma non è così.
Dove sbaglio? Come si fa in realta?
Risposte
credo che l'errore sia inserire nel sistema anche il fatto che x=1 ed y=1
spiegare perche', per me, e' un po' difficile, ci devo pensare...
spiegare perche', per me, e' un po' difficile, ci devo pensare...
Puoi usare la condizione che la circonferenza deve passare per A e così trovi il raggio!
Penso che così si possa risolvere...
Penso che così si possa risolvere...
Se nel sistema inserisci anche $x=1$ e $y=1$ ti riduci ad un solo punto... Scrivi l'equazione della circonferenza sfruttando il passaggio per $(1,1)$, come ti hanno detto. Imponi il passaggio della parabola per tale punto, in questo modo l'equazione della parabola viene a dipendere da un solo parametro.
Ora metti a sistema le equazioni di circonferenza e parabola e imponi la condizione di tangenza nel punto $(1,1)$.
Ora metti a sistema le equazioni di circonferenza e parabola e imponi la condizione di tangenza nel punto $(1,1)$.
"Tipper":
Se nel sistema inserisci anche $x=1$ e $y=1$ ti riduci ad un solo punto... Scrivi l'equazione della circonferenza sfruttando il passaggio per $(1,1)$, come ti hanno detto. Imponi il passaggio della parabola per tale punto, in questo modo l'equazione della parabola viene a dipendere da un solo parametro.
Ora metti a sistema le equazioni di circonferenza e parabola e imponi la condizione di tangenza nel punto $(1,1)$.
si, questo l'avevo fatto: avevo messo a sistema $x^2+y^2=2$ e l'equazione della parabola senza però impore che passasse per $A$...imposto ciò sarebbe $y-1=a(x-1)$ o mi sbaglio??
Piuttosto quella mi sembra una retta generica passante per A, non una parabola.
Si tratta di prendere l'equazione generale
$y=ax^2+bx+c$ e sostituire i due valori, per ottenere una relazione che lega i 3 coefficienti.
Si tratta di prendere l'equazione generale
$y=ax^2+bx+c$ e sostituire i due valori, per ottenere una relazione che lega i 3 coefficienti.
"+Steven+":
Piuttosto quella mi sembra una retta generica passante per A, non una parabola.
Si tratta di prendere l'equazione generale
$y=ax^2+bx+c$ e sostituire i due valori, per ottenere una relazione che lega i 3 coefficienti.
ho già fatto una cosa del genere.
Avevo messo a sistema $x^2+y^2=2$ e $a+c=1$ , ma sembra non mi porti da nessuna parte...
Ci credo bene.
Stai mettendo a sistema due equazioni che non condividono nemmeno un'incognita.
Guarda, ti dico come impostare le 3 equazioni
1)Sfrutta il fatto che l'asse lo conosci
2)Sfrutta il fatto che conosci il passaggio per un punto
Poi trova la retta tangente alla circonferenza in quel punto.
Essendo questa retta tangente alla circonferenza, e la circonferenza alla parabola, vale anche che la parabola stessa è tangente alla retta.
Perciò la terza informazione è questa
3)Tangenza con questa retta, che sta a te trovare (trattala come tangente alla cirfonferenza).
Chiaro ora?
Stai mettendo a sistema due equazioni che non condividono nemmeno un'incognita.
Guarda, ti dico come impostare le 3 equazioni
1)Sfrutta il fatto che l'asse lo conosci
2)Sfrutta il fatto che conosci il passaggio per un punto
Poi trova la retta tangente alla circonferenza in quel punto.
Essendo questa retta tangente alla circonferenza, e la circonferenza alla parabola, vale anche che la parabola stessa è tangente alla retta.
Perciò la terza informazione è questa
3)Tangenza con questa retta, che sta a te trovare (trattala come tangente alla cirfonferenza).
Chiaro ora?
"+Steven+":
Ci credo bene.
Stai mettendo a sistema due equazioni che non condividono nemmeno un'incognita.
Guarda, ti dico come impostare le 3 equazioni
1)Sfrutta il fatto che l'asse lo conosci
2)Sfrutta il fatto che conosci il passaggio per un punto
Poi trova la retta tangente alla circonferenza in quel punto.
Essendo questa retta tangente alla circonferenza, e la circonferenza alla parabola, vale anche che la parabola stessa è tangente alla retta.
Perciò la terza informazione è questa
3)Tangenza con questa retta, che sta a te trovare (trattala come tangente alla cirfonferenza).
Chiaro ora?
accidenti..si! hai ragione!! grazie mille per la dritta!
Prego.
Innanzitutto la circonferenza avendo centro in $(0,0)$ e passando per $(1,1)$ ha raggio $sqrt(2)$ pertanto la sua equazione è $x^2+y^2=2$.
Suppongo ora che non hai ancora fatto le derivate, altrimenti sarebbe assolutamente immediato risolverlo.
La retta $t$ tangente alla circonferenza è perpendicolare al raggio, quindi ha coefficiente angolare antireciproco della retta per il raggio $y=x$, cioè $-1$. Siccome passa per (1,1) la sua equazione è: $t:y-1=-(x-1) iff y=-x+2$
Ora alla parabola impongo:
Passaggio per $(1,1)$:
$1=a+c iff c=1-a $
per cui la parabola assume la forma:
$y^2=ax^2+(1-a)$
Per imporre che la retta $t$ sia tangente alla parabola devo intersecarle e imporre che vi sia una sola soluzione.
Questo sarà possibile imponendo che il discriminante dell'equazione di secondo grado risolvente sia 0.
Messe a sistema le equazioni della retta e della parabola per sostituzione ottengo:
$(-x+2)^2=ax^2+(1-a) $
$iff (a-1)x^2+4x+(-3-a) = 0$
E infine impongo:
$Delta/4 = 2-(a-1)(-3-a) = 0 iff 0 = a^2+2a-1 iff a=1+-sqrt(2)$
da cui ottieni le due parabole soluzioni:
$y^2=(1-sqrt(2))x^2+sqrt(2)$
$y^2=(1+sqrt(2))x^2-sqrt(2)$
Suppongo ora che non hai ancora fatto le derivate, altrimenti sarebbe assolutamente immediato risolverlo.
La retta $t$ tangente alla circonferenza è perpendicolare al raggio, quindi ha coefficiente angolare antireciproco della retta per il raggio $y=x$, cioè $-1$. Siccome passa per (1,1) la sua equazione è: $t:y-1=-(x-1) iff y=-x+2$
Ora alla parabola impongo:
Passaggio per $(1,1)$:
$1=a+c iff c=1-a $
per cui la parabola assume la forma:
$y^2=ax^2+(1-a)$
Per imporre che la retta $t$ sia tangente alla parabola devo intersecarle e imporre che vi sia una sola soluzione.
Questo sarà possibile imponendo che il discriminante dell'equazione di secondo grado risolvente sia 0.
Messe a sistema le equazioni della retta e della parabola per sostituzione ottengo:
$(-x+2)^2=ax^2+(1-a) $
$iff (a-1)x^2+4x+(-3-a) = 0$
E infine impongo:
$Delta/4 = 2-(a-1)(-3-a) = 0 iff 0 = a^2+2a-1 iff a=1+-sqrt(2)$
da cui ottieni le due parabole soluzioni:
$y^2=(1-sqrt(2))x^2+sqrt(2)$
$y^2=(1+sqrt(2))x^2-sqrt(2)$
"zorn":
Innanzitutto la circonferenza avendo centro in $(0,0)$ e passando per $(1,1)$ ha raggio $sqrt(2)$ pertanto la sua equazione è $x^2+y^2=2$.
Suppongo ora che non hai ancora fatto le derivate, altrimenti sarebbe assolutamente immediato risolverlo.
La retta $t$ tangente alla circonferenza è perpendicolare al raggio, quindi ha coefficiente angolare antireciproco della retta per il raggio $y=x$, cioè $-1$. Siccome passa per (1,1) la sua equazione è: $t:y-1=-(x-1) iff y=-x+2$
Ora alla parabola impongo:
Passaggio per $(1,1)$:
$1=a+c iff c=1-a $
per cui la parabola assume la forma:
$y^2=ax^2+(1-a)$
Per imporre che la retta $t$ sia tangente alla parabola devo intersecarle e imporre che vi sia una sola soluzione.
Questo sarà possibile imponendo che il discriminante dell'equazione di secondo grado risolvente sia 0.
Messe a sistema le equazioni della retta e della parabola per sostituzione ottengo:
$(-x+2)^2=ax^2+(1-a) $
$iff (a-1)x^2+4x+(-3-a) = 0$
E infine impongo:
$Delta/4 = 2-(a-1)(-3-a) = 0 iff 0 = a^2+2a-1 iff a=1+-sqrt(2)$
da cui ottieni le due parabole soluzioni:
$y^2=(1-sqrt(2))x^2+sqrt(2)$
$y^2=(1+sqrt(2))x^2-sqrt(2)$
mi pare ci sia qualcosa di sbagliato però...
innanzi tutto l'equazione della parabolaa che non è $y^2=ax^2+c$ bensì $y=ax^2+c$
e...alla fine ho risolto anch'io il problema ma ottengo solo una parabola (come si vede anche nel disegno che ho realizzato, dove è impossibile che ci siano due parabole tangenti a quella circonferenza avendo imposto quelle condizioni)
La mia parabola ha equazione $y=-1/2x^2+3/2$. Credo sia corretta, anche perchè poi ci sono altri quesiti nel problema e utilizzando questa mi pare che tutto funzioni.
Accidenti che stupido ho sbagliato a copiare e nemmeno me ne sono accorto...
a parte questo errore comunque spero di averti spiegato il procedimento qual è. Anche a me sembrava strano ci fossero 2 soluzioni... capita di prendere una cantonata ogni tanto...
a parte questo errore comunque spero di averti spiegato il procedimento qual è. Anche a me sembrava strano ci fossero 2 soluzioni... capita di prendere una cantonata ogni tanto...
"claudia f.":
[quote="zorn"]Innanzitutto la circonferenza avendo centro in $(0,0)$ e passando per $(1,1)$ ha raggio $sqrt(2)$ pertanto la sua equazione è $x^2+y^2=2$.
Suppongo ora che non hai ancora fatto le derivate, altrimenti sarebbe assolutamente immediato risolverlo.
La retta $t$ tangente alla circonferenza è perpendicolare al raggio, quindi ha coefficiente angolare antireciproco della retta per il raggio $y=x$, cioè $-1$. Siccome passa per (1,1) la sua equazione è: $t:y-1=-(x-1) iff y=-x+2$
Ora alla parabola impongo:
Passaggio per $(1,1)$:
$1=a+c iff c=1-a $
per cui la parabola assume la forma:
$y^2=ax^2+(1-a)$
Per imporre che la retta $t$ sia tangente alla parabola devo intersecarle e imporre che vi sia una sola soluzione.
Questo sarà possibile imponendo che il discriminante dell'equazione di secondo grado risolvente sia 0.
Messe a sistema le equazioni della retta e della parabola per sostituzione ottengo:
$(-x+2)^2=ax^2+(1-a) $
$iff (a-1)x^2+4x+(-3-a) = 0$
E infine impongo:
$Delta/4 = 2-(a-1)(-3-a) = 0 iff 0 = a^2+2a-1 iff a=1+-sqrt(2)$
da cui ottieni le due parabole soluzioni:
$y^2=(1-sqrt(2))x^2+sqrt(2)$
$y^2=(1+sqrt(2))x^2-sqrt(2)$
mi pare ci sia qualcosa di sbagliato però...
innanzi tutto l'equazione della parabolaa che non è $y^2=ax^2+c$ bensì $y=ax^2+c$
e...alla fine ho risolto anch'io il problema ma ottengo solo una parabola (come si vede anche nel disegno che ho realizzato, dove è impossibile che ci siano due parabole tangenti a quella circonferenza avendo imposto quelle condizioni)
La mia parabola ha equazione $y=-1/2x^2+3/2$. Credo sia corretta, anche perchè poi ci sono altri quesiti nel problema e utilizzando questa mi pare che tutto funzioni.[/quote]
Basta ragionare così: nel punto $x=1$ la parabola ha una tangente inclinata di $135$ gradi rispetto all'asse delle $x$, e quindi il coefficiente angolare è pari a $-1$.
$y^{'} = 2ax \rightarrow 2a = -1 \rightarrow a = - \frac{1}{2}$.
Per ricavare $c$ basta imporre il passaggio per il punto $(1;1)$, ricavando così $y = - \frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{2}$.
Francesco Daddi
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