Sistemi mediante artifici

[tuany2004]

Salve ho questo sistema
4x/x+y - 3y/x+2y = 1
3x(x+2y) + 2y (x+y) = 13/6 (x+y) (x+2y)

risultato x=y con x diverso da -y e diverso da -2y

Potete aiutami? Metodo Sostituzione se possibile o qualsiasi altro
Grazie in anticipo

[minomic]

Ciao, per prima cosa cerchiamo di scriverlo in modo comprensibile. E' questo?
\[
\large
\begin{cases}
\frac{4x}{x+y}-\frac{3y}{x+2y} = 1 \\
3x\left(x+2y\right)+2y\left(x+y\right) = \frac{13}{6}\left(x+y\right)\left(x+2y\right)
\end{cases}
\]

[size=150]EDIT[/size] - Sì immagino fosse questo perché poi il risultato mi viene come dice la soluzione.
Dunque, dalla prima abbiamo subito le condizioni sui denominatori, cioè $x != -y$ e $x != -2y$ A questo punto faccio il mcm nella prima e ottengo
$4x(x+2y)-3y(x+y)=(x+y)(x+2y)$
Ora mi accorgo che c'è una certa ripetizione dei termini $x(x+2y)$ e $y(x+y)$. Faccio quindi la seguente sostituzione:
$x(x+2y) = a$, $y(x+y) = b$.
Il termine che compare a destra è $(x+y)(x+2y) = x^2+3xy+2y^2 = a+b+y^2$. Non è una sostituzione perfetta (perché mi rimane la $y$) ma vedrai che funziona.
A questo punto riscrivo il sistema come
\[
\begin{cases}
4a-3b=a+b+y^2 \\
3a+2b = \frac{13}{6}\left(a+b+y^2\right)
\end{cases} \quad\Rightarrow\quad \begin{cases}
3a-4b = y^2 \\
3a+2b = \frac{13}{6}\left(a+b+y^2\right)
\end{cases}
\] Adesso, ad esempio con la sottrazione membro a membro, si ricava facilmente
\[
\begin{cases}
a = 3y^2 \\
b = 2y^2
\end{cases}
\]
Ora è praticamente fatto. Riesci a concludere da qui?

[renatino1]

Avrei un altro tipo di soluzione ( supposto $x,y \ne 0$ ). Divido la seconda equazione per $(x+y)(x+2y) $ ed ho il sistema:
\(\displaystyle \begin{cases}4\frac{x}{x+y}-3\frac{y}{x+2y}=1\\ 3\frac{x}{x+y}+2\frac{y}{x+2y}=\frac{13}{6}\end{cases} \)
Ponendo $\frac{x}{x+y}=u,\frac{y}{x+2y}=v$:
\(\displaystyle \begin{cases}4u-3v=1\\3u+2v=\frac{13}{6}\end{cases} \)
che porta alla soluzione:
\(\displaystyle \begin{cases}u=\frac{1}{2}\\v=\frac{1}{3}\end{cases} \)
Da qui il sistema :
\(\displaystyle \begin{cases}\frac{x}{x+y}=\frac{1}{2}\\\frac{y}{x+2y}=\frac{1}{3}\end{cases} \)
che si riduce all'unica equazione $x=y$. Perciò il sistema ha infinite soluzioni $(x=p,y=p)$ con p reale non nullo.

[minomic]

Sì, così è ancora più semplice!