Sistema simmetrico

[Straightedge]

Ciao a tutti,ho un problema con questo sistema simmetrico:

[math]\begin{cases} x+y=61+xy \\ x^2+y^2=21+xy
\end{cases} [/math]

Spero di aver scritto bene...le soluz. sono:
+-4,+-5
Grazie per un'eventuale risposta

[ciampax]

Per risolverlo velocemente ti consiglio il seguente "trucco": poiché

[math](x+y)^2=x^2+y^2+2xy[/math]

hai pure

[math]x^2+y^2=(x+y)^2-2xy[/math]

Grazie a questa identità puoi

1) trasformare la seconda equazione del sistema;

2) sostituire al posto della somma x+y il valore dato dalla prima equazione.

A quel punto avrai una equazione nella "variabile" xy. Ne trovi le radici e poi scrivi due sistemi, uno con ogni valore di xy trovato. Fatto questo ti sei ridotto a due sistemi della forma

[math]\left\{\begin{array}{l}
x+y=a\\ xy=b
\end{array}\right.[/math]

la cui soluzione viene dall'equazione ausiliaria

[math]t^2-at+b=0[/math]

Prova a risolverlo e fammi sapere.

[Straightedge]

Si lo so...solo che mi trovo:

[math]\begin{cases} (x+y)^2-3xy=21 \\ x+y-xy=61\end{cases} [/math]

e poi nn so come andare avanti...

[ciampax]

Basta sostituire

[math]x+y=61+xy[/math]

nella prima equazione così da ottenere

[math](61+xy)^2-3xy=21[/math]

e quindi l'equazione

[math](xy)^2+119(xy)+3700=0[/math]

Se poni

[math]z=xy[/math]

hai l'equazione

[math]z^2+119 z+3700=0[/math]

che non ha soluzione e quindi il sistema non ammette soluzioni. Se invece deve avere le soluzioni che hai scritto, necessariamente devi aver sbagliato qualcosa nello scrivere il sistema stesso. Controlla.

[Straightedge]

In effetti hai ragione....devo aver sbagliato a trascrivere,peccato che potrò controllare solo domani...
Dato che erano 2 i sistemi simmetrici che nn mi venivano,sapresti dirmi come procedere con questo?

[math]\begin{cases}3x^2+3y^2+2xy=11 \\ 2x+2y-3xy=8
\end{cases} [/math]

Se nn sbaglio,ma nn sn sicuro, x+y dovrebbe essere

[math]\sqrt{11 fratto 3}[/math]

poi però nn so come proseguire,anche sostituendo...

[ciampax]

Sempre alla stessa maniera del primo! Puoi raccogliere 3 e 2 davanti alle somme nella prima e nella seconda equazione. A quel punto procedi come prima.

Prova e fammi sapere!

[Straightedge]

MMhh...una domanda:quando faccio 2(x+y)=8+3xy vuol dire che x+y=4+

[math]\frac{3}{2}[/math]

xy?

[ciampax]

Sì.

[Straightedge]

Bah,nn so perchè ma nn mi viene...