Sistema simmetrico
Sera a tutti 
Ho questo sistema: $ { ( x^2+y^2=65 ),( xy=28 ):} $, ho provato di tutto ma non riesco a portarlo alla forma canonica! Come posso fare??
Ho questo sistema: $ { ( x^2+y^2=65 ),( xy=28 ):} $, ho provato di tutto ma non riesco a portarlo alla forma canonica! Come posso fare??
Risposte
Vediamo un po' =)
Potresti usare la formula di Waring sulla somma dei quadrati per cui hai $x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$, provaci
Potresti usare la formula di Waring sulla somma dei quadrati per cui hai $x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$, provaci
Così, applicando le formule di Waring, $ { ( x^2+y^2+2xy-2xy=65 ),( xy=28 ):} $, che diventa $ { ( (x+y)^2-2*28=65 ),( xy=28 ):} $, poi
$ { ( (x+y)^2=121 ),( xy=28 ):} $ da cui i due sistemi
$ { ( x+y=11 ),( xy=28 ):} $
$ { ( x+y=-11 ),( xy=28 ):} $
$ { ( (x+y)^2=121 ),( xy=28 ):} $ da cui i due sistemi
$ { ( x+y=11 ),( xy=28 ):} $
$ { ( x+y=-11 ),( xy=28 ):} $
Giusto, grazie a entrambe! Era così evidente, perché non mi accorgo subito di queste cose? ;(
Comunque, mi vengono quattro soluzioni e sono giuste. Ma questo è un sistema di quarto grado per caso?
Comunque, mi vengono quattro soluzioni e sono giuste. Ma questo è un sistema di quarto grado per caso?
E sì, le due equazioni sono entrambe di secondo grado e il grado di un sistema si trova moltiplicando i gradi delle singole equazioni.
Ah ok, quindi se trovo un'equazione dove c'è un prodotto di due incognite del tipo $xy$ è di secondo grado, mentre se c'è una somma o una differenza $x-y$ è di primo?
Esattamente.
"Fiammetta.Cerise":
Ah ok, quindi se trovo un'equazione dove c'è un prodotto di due incognite del tipo $xy$ è di secondo grado, mentre se c'è una somma o una differenza $x-y$ è di primo?
Attenta ai casi particolari;
il sistema potrebbe essere di [tex]$3°$[/tex] grado e ammettere, ad esempio, due soluzioni distinte di cui una con molteplicità [tex]$2$[/tex] (cioè contata [tex]$2$[/tex] volte!).
Quindi non prendere come regola quella che se il sistema è di quarto grado avrai sempre [tex]$4$[/tex] soluzioni distinte.
Se ad esempio ti do questa equazione:
[tex]$(x-1)^{2}= 0$[/tex]
mi sai dire quante soluzioni ammette?
Due coincidenti, ma sempre due.
"@melia":
Due coincidenti, ma sempre due.
melia, la domanda non era rivolta a te!!!!!!!
Perdonami, non ho resistito.
"@melia":
Perdonami, non ho resistito.
[OT]
ahaha. perdonata!
[/OT]
Una domanda, non molto fuori tema (rivolta soprattutto ad @melia).
Frequentando la specialistica di Matematica non dovrei dirlo però non ho mai sentito parlare di queste formule di Waring (anche se a vederla mi sembra una cosa abbastanza scontata per chi ha un minimo di dimestichezza con le potenze di binomi).
Ho sempre risolto questi sistemi trovando - o meglio, ricavando - una variabile nel prodotto e sostituendola sopra. Poi facevo il mcm e risolvevo la biquadratica che restava. E' sbagliato come modo di operare?
Frequentando la specialistica di Matematica non dovrei dirlo però non ho mai sentito parlare di queste formule di Waring (anche se a vederla mi sembra una cosa abbastanza scontata per chi ha un minimo di dimestichezza con le potenze di binomi).
Ho sempre risolto questi sistemi trovando - o meglio, ricavando - una variabile nel prodotto e sostituendola sopra. Poi facevo il mcm e risolvevo la biquadratica che restava. E' sbagliato come modo di operare?
Scusami Zero87, non voglio assolutamente essere presuntuoso, ma quando ho letto che frequentavi la specialistica di Matematica mi è venuto immediato pensare che,in quanto specializzante, non avresti mai dovuto avere un dubbio del genere..
Cioè non mi riferisco alle formule di Waring, ma alla seconda domanda, quando chiedi se è giusto procedere in quel modo.
Con le conoscenze che hai (e che non metto in dubbio, ci mancherebbe!) dovresti poter rispondere da te a questa domanda, cioè dovresti riuscire a capire, da solo, se è, o meno, esatto procedere in quel modo.
Forse mi sbaglio.
Ripeto: non è arroganza la mia; forse ho solo capito male ciò che chiedi!!
Cioè non mi riferisco alle formule di Waring, ma alla seconda domanda, quando chiedi se è giusto procedere in quel modo.
Con le conoscenze che hai (e che non metto in dubbio, ci mancherebbe!) dovresti poter rispondere da te a questa domanda, cioè dovresti riuscire a capire, da solo, se è, o meno, esatto procedere in quel modo.
Forse mi sbaglio.
Ripeto: non è arroganza la mia; forse ho solo capito male ciò che chiedi!!
Le formule di Waring, che non sono altro che il completamento del quadrato e del cubo del binomio, permettono di risolvere sistemi simmetrici di terzo grado (spesso apparente), quarto o anche più alto riducendoli a più sistemi di secondo grado, quindi più facili da risolvere.
Probabilmente le hai usate anche tu attraverso delle sostituzioni, senza accorgertene, infatti che $x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$ lo sai benissimo anche tu, quello che non sapevi è solo che questa formula avesse un nome (prima formula di Waring).
Chiaramente il metodo di soluzione che adotti non è sbagliato, ma qualche volta richiede diversi calcoli in più.
Probabilmente le hai usate anche tu attraverso delle sostituzioni, senza accorgertene, infatti che $x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$ lo sai benissimo anche tu, quello che non sapevi è solo che questa formula avesse un nome (prima formula di Waring).
Chiaramente il metodo di soluzione che adotti non è sbagliato, ma qualche volta richiede diversi calcoli in più.
"@melia":
Due coincidenti, ma sempre due.
Ecco questo è un punto cruciale, non riesco mai a capire. In un'equazione biquadratica ad esempio, il libro mette come soluzioni $+-6$ e $+-6$, so che ha 4 soluzioni, ma che senso ha metterle due volte visto che sono coincidenti? E' sbagliato dire che le soluzioni sono $x=+-6$? La mia professoressa dice che bestemmio contro la matematica quando dico queste cose
In algebra il fatto che due soluzioni siano coincidenti genera spesso perplessità tra gli studenti, ma se pensi di trasportare il tuo problema in geometria analitica vedendolo come intersezione tra due luoghi geometrici allora dire che una soluzione è doppia significa che le due figura sono tangenti, se lnon lo è significa che sono secanti.
Ah ho capito, quindi sarebbe sbagliato dire che le soluzioni sono $+-6$? Cioè da professoressa lei conterebbe errore?
Non è sbagliato, o meglio è incompleto.
Dovresti scrivere che le soluzioni sono [tex]\pm 6[/tex] con molteplicità [tex]2[/tex] (perché sono contate due volte).
Tuttavia se stai affrontando un esercizio in cui questo accorgimento è irrilevante, non c'è nulla di scorretto, al massimo mettilo una volta tra parentesi per tenerlo presente.
Se in un esercizio ti trovi davanti [tex](x-1)^9 = 0[/tex]; cosa fai? mi scrivi [tex]9[/tex] volte [tex]x=1[/tex] ?
Spero di essere stato chiaro.
Dovresti scrivere che le soluzioni sono [tex]\pm 6[/tex] con molteplicità [tex]2[/tex] (perché sono contate due volte).
Tuttavia se stai affrontando un esercizio in cui questo accorgimento è irrilevante, non c'è nulla di scorretto, al massimo mettilo una volta tra parentesi per tenerlo presente.
Se in un esercizio ti trovi davanti [tex](x-1)^9 = 0[/tex]; cosa fai? mi scrivi [tex]9[/tex] volte [tex]x=1[/tex] ?
Spero di essere stato chiaro.
Non penso sia importante negli esercizi che stiamo svolgendo, non sono di geometria analitica, sono semplici equazioni/sistemi. Ok, ho capito, grazie a tutti =)
"Mathcrazy":
Scusami Zero87, non voglio assolutamente essere presuntuoso, ma quando ho letto che frequentavi la specialistica di Matematica mi è venuto immediato pensare che,in quanto specializzante, non avresti mai dovuto avere un dubbio del genere..
Cioè non mi riferisco alle formule di Waring, ma alla seconda domanda, quando chiedi se è giusto procedere in quel modo.
Con le conoscenze che hai (e che non metto in dubbio, ci mancherebbe!) dovresti poter rispondere da te a questa domanda, cioè dovresti riuscire a capire, da solo, se è, o meno, esatto procedere in quel modo.
Forse mi sbaglio.
Ripeto: non è arroganza la mia; forse ho solo capito male ciò che chiedi!!
(Basta, non vado più fuori tema!)
Si, hai ragione. L'ho scritto un po' come domanda retorica e un po' per pignoleria, ma era meglio che me le risparmiavo.
Però, scherzi a parte, all'università queste cose sono scontate e le formule di Waring non le ho mai sentite nominare. L'unica cosa che posso dire - a mia discolpa - è che nei primi due anni del liceo (scientifico) ho fatto solo geometria e problemi con i parametri mentre al terzo e al quarto solo matrici e logica... Ho tante lacune che ho dovuto "per forza" (dato che all'uni danno tutto per scontato) colmarmele da me!
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