Sistema parametrico goniometrico misto di II grado... lineare in seno/coseno

[jojomath]

Scusate il titolo troppo lungo, ma vi servirà per orientarvi
Spero anche che abbia centrato il forum

Ho dei problemi con l'argomento scritto sul titolo.
Come sapete i problemi di Trigonometria con discussione conducono in genere ad un sistema parametrico misto goniometrico
1) per via algebrica, tramite discussione di Tartinville
2) per via grafica

Sto avendo problemi con la 1) in seno/coseno tramite il seguente esercizio:
$ { ( sqrt(3)sin x +cos x-k=0 ),( 0°<= x<= 90° ):} $

SVOLGIMENTO

$ {: ( { ( sqrt(3)((2t)/(1+t))+((1-t^2)/(1+t^2))-k=0 ),( (0°)/2<=x/2<=(90°)/2 ):} , { ( (2sqrt(3)t+1-t^2-k(1+t^2)=0)/(1+t^2) ),( 0°<=x/2<=45° ):} ),( { ( 2sqrt(3)t+1-t^2-k-kt^2=0 ),( 0°<=x/2<=45° ):} , { ( -t^2-kt^2+2sqrt(3)t+1-k=0 ),( 0°<=x/2<=45° ):} ),( { ( t^2+kt^2-2sqrt(3)t-1+k=0 ),( 0°<=x/2<=45° ):} , { ( (1+k)t^2-2sqrt(3)t-1+k=0 ),( tan 0°<=tan (x/2)<=tan 45° ):} ),( { ( (1+k)t^2-2sqrt(3)t-1+k=0 ),( 0<=tan (x/2)<=1 ):} , \text{inizio discussione Tartinville} ) :} $

Per evitare che uscisse una pergamena, vi scrivo la prima parte della discussione di Tartinville:
$ {: \text{Se } k<-2 \ \ rarr \ \ \text{allora } Delta<0 \ \ \text{quindi nessuna soluzione reale } :} $

Sto procedendo bene oppure sto toppando?
Grazie

[caffeinaplus]

Ciao provo a darti una mano anche se un po arrugginito su queste cose.

Allora, tanto per iniziare portiamo il tutto a una forma più comoda

$sqrt(3)sinx +cosx=k$
$sqrt(3)/2sinx +1/2cosx=k/2$
$sin(x+pi/6)=1/2k$

Adesso, chiamiamo per un secondo $(x+pi/6)=alpha$

Sappiamo che il seno è una funzione limitata, di conseguenza anche i valori $k$ che può assumere sono limitati

$-2<=k<=2$

Adesso viene l'ultima scrematura, dato che la $x$ è limitata per le condizioni iniziali.Ora proviamo a capire il valore agli estremi della funzione

$sin(pi/6)=1/2$
$sin(pi/2+pi/6)=sqrt(3)/2$

Sapendo che $alpha$ include pure $pi/2$ e che il valore minimo assunto è in $x=0$ (la funzione non riesce ad arrivare a un valore più piccolo in quel range dato che riesce al massimo a spingersi a un valore con un seno comunque più alto)

Possiamo limitarci a dire che il parametro deve essere il $1<=k<=2$

edit: cavolo non avevo fatto caso che devi usare un metodo preciso, mi spiace

[jojomath]

Grazie davvero per la risposta caffeinaplus.
Ricordarsi tutte queste cose non è facile infatti ho notato che hai risolto tramite ragionamento.

Solo che sto cercando di sfruttare quello che ci è stato insegnato, cioè come risolvere $ \text{sistemi parametrici goniometrici misti di II grado} $ se si ha, in questo caso, un $ \text{sistema lineare in seno e coseno} $.

Questo tipo di sistema, diversamente da quelli in cui compare $ \text{un'unica funzione goniometrica} $ risolvibili sostituendo con una variabile ausiliaria $ t $ ed eseguendo le giuste osservazioni riguardanti le limitazioni, mi è stato detto che è risolvibile algebricamente tramite $ \text{Tartinville} $.

Infatti che sia un sistema in cui compare un'unica funzione goniometrica oppure, nel mio caso, un sistema lineare in seno e coseno quando si decide di risolvere algebricamente, il professore ha solo accennato il $ \text{metodo di Tartinville} $ dopo aver sfruttato le $ \text{formule parametriche} $.

Che si risolva graficamente o algebricamente alla fine si arriva, per esempio, ad un risultato del tipo:
$ {: ( \text{Due soluzioni per} , -4{16}/{35} ) :} $

[jojomath]

Forse sto chiedendo troppo? Giusto?
Perdonatemi

[@melia]

Difficilmente troverai nel forum chi si diletta con Tartinville. Credo che tutti preferiamo il metodo grafico o un metodo "ragionato".
Nessuno ti ha risposto perché la tua non sembrava una domanda, ma un'affermazione.