Sistema lineare indeterminato --> infinito^????
Ciao 
Ho un sistema lineare omogeneo (no termini noti) di 4 incognite in cinque equazioni, per le risoluzione il libro dice di applicare il metodo dell'eliminazione.
Io l'ho utilizzato ed il risultato viene però non ho capito una cosa:
inizialmente avevo pensato infinito^(incognite-equazioni) quindi infinito^(-1), il libro però dice che deve essere infinito^(parametri usati) ... non ho capito perchè però ad altri esercizi invece devo fare infinito^(incognite-equazioni) e qui no
Poi in base a cosa il libro ha deciso che ci sono 2 parametri??
Praticamente con Gauss 2 equazioni si annullano, ne rimangono 3 : una completa di tutte e 4 le incognite, la seconda con 3 incognite e l'ultima con 2 ... mi spiegate il perchè?
Vi ringrazio e spero che anche senza aver scritto la matrice si capiscano i miei dubbi
Ho un sistema lineare omogeneo (no termini noti) di 4 incognite in cinque equazioni, per le risoluzione il libro dice di applicare il metodo dell'eliminazione.
Io l'ho utilizzato ed il risultato viene però non ho capito una cosa:
inizialmente avevo pensato infinito^(incognite-equazioni) quindi infinito^(-1), il libro però dice che deve essere infinito^(parametri usati) ... non ho capito perchè però ad altri esercizi invece devo fare infinito^(incognite-equazioni) e qui no
Poi in base a cosa il libro ha deciso che ci sono 2 parametri??
Praticamente con Gauss 2 equazioni si annullano, ne rimangono 3 : una completa di tutte e 4 le incognite, la seconda con 3 incognite e l'ultima con 2 ... mi spiegate il perchè?
Vi ringrazio e spero che anche senza aver scritto la matrice si capiscano i miei dubbi
Risposte
La dimensione dello spazio delle soluzioni (l'esponente $d$ in $infty^d$) è il numero di parametri che ti servono per esprimerle. In certi casi coincide con $"incognite"-"equazioni"$, in altri no, capirai bene quali sono questi casi andando avanti con gli studi.
Per la seconda domanda la risposta è: perché a questo serve il metodo di Gauss. Infatti, ti ha ridotto il sistema in forma triangolare. Due equazioni sono sparite, perché erano linearmente dipendenti (sai che significa questa locuzione?) dalle altre.
Per la seconda domanda la risposta è: perché a questo serve il metodo di Gauss. Infatti, ti ha ridotto il sistema in forma triangolare. Due equazioni sono sparite, perché erano linearmente dipendenti (sai che significa questa locuzione?) dalle altre.
oggi ho scoperto un'altra cosa che a volte le soluzioni possono anche essere infinito^(incognite-rango) dunque la mia confusione è aumentata notevolmente
Mi puoi spiegare schematicamente questi casi? perchè altrimenti rischio di fare un pasticcio al compito in classe dato che l'esponente d varia in basa a come lo trovo.
Grazie 1000
Mi puoi spiegare schematicamente questi casi? perchè altrimenti rischio di fare un pasticcio al compito in classe dato che l'esponente d varia in basa a come lo trovo.
Grazie 1000
Sì, questo che hai scoperto oggi è il teorema di Rouché-Capelli. Il discorso è questo: quando si vuole dire, di un sistema lineare, "quante" soluzioni abbia, si può usare la notazione "infinito elevato a" (che, per inciso, a me piace poco; ma vabbé). Per definizione si dice che un sistema lineare ha $infty^d$ soluzioni se sono necessari $d$ parametri liberi e non uno di meno per esprimerle. Esempio:
${x+y=1:}$ si risolve portando $y$ a destra:
${x=1-y:}$ poi introducendo il parametro libero $t_1$ e aggiungendo l'equazione $y=t_1$:
${(x=1-y), (y=t_1):}$ infine sostituendo $y$ nella prima equazione:
${(x=1-t_1), (y=t_1):}$.
Adesso abbiamo tutte e due le incognite in funzione dei parametri liberi, quindi il sistema è risolto. Abbiamo usato solo un parametro quindi le soluzioni sono $infty^1$.
Il teorema di Rouché-Capelli ci avrebbe permesso di stabilire il numero delle soluzioni senza risolvere il sistema. Nella tesi di questo teorema c'è infatti un pezzo che dice:
se un sistema lineare ha soluzione, allora le soluzioni sono sempre $infty^{"numero incognite"-"numero di equazioni linearmente indipendenti"}$, e $"numero di equazioni linearmente indipendenti"$ è quello che tu hai sinteticamente chiamato rango.
Spero di essere stato chiaro.
${x+y=1:}$ si risolve portando $y$ a destra:
${x=1-y:}$ poi introducendo il parametro libero $t_1$ e aggiungendo l'equazione $y=t_1$:
${(x=1-y), (y=t_1):}$ infine sostituendo $y$ nella prima equazione:
${(x=1-t_1), (y=t_1):}$.
Adesso abbiamo tutte e due le incognite in funzione dei parametri liberi, quindi il sistema è risolto. Abbiamo usato solo un parametro quindi le soluzioni sono $infty^1$.
Il teorema di Rouché-Capelli ci avrebbe permesso di stabilire il numero delle soluzioni senza risolvere il sistema. Nella tesi di questo teorema c'è infatti un pezzo che dice:
se un sistema lineare ha soluzione, allora le soluzioni sono sempre $infty^{"numero incognite"-"numero di equazioni linearmente indipendenti"}$, e $"numero di equazioni linearmente indipendenti"$ è quello che tu hai sinteticamente chiamato rango.
Spero di essere stato chiaro.
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