Sistema lineare

[ambrosiana32-votailprof]

Salve a tutti,sono nuova del forum.Ho letto molte volte le spiegazioni relative a molti argomenti che spesso ho trattato anche a scuola con interesse.Vi chiedo un aiuto per un sistema che mi è stato chiesto di risolvere.Il sistema è il seguente:

x+y=0
x*y=0

Ho scritto 0 come numero a caso ma potrebbe essere qualsiasi numero.Mi auguro che mi possiate aiutare.Io non capisco come risolverlo.

[dissonance]

$x=0, y=0$ è effettivamente l'unica soluzione. Infatti se $xy=0$ significa che almeno una tra $x$ e $y$ è nulla. Se ad essere nulla è la $x$ allora la prima equazione diventa $y=0$; se ad essere nulla è la $y$ la prima equazione diventa $x=0$.
In queste cose comunque una ottima maniera di procedere è per via grafica. Disegna la retta di equazione $x+y=0$ e la conica (degenere) $xy=0$: dove si incontrano?

[@melia]

Si tratta di un sistema simmetrico, di solito viene risolto tramite un'equazione di secondo grado. Il caso che hai messo è un po' troppo particolare, quello più generale $\{(x + y = s),(x *y = p):}$ dove s sta per somma e p per prodotto, si risolve utilizzando l'equazione $z^2-sz+p=0$, una volta individuate $z_1$ e $z_2$ soluzioni dell'equazione, la soluzione del sistema è data dalle coppie ordinate $\{(x_1=z_1 ),(y_1 = z_2):}$ e $\{(x_2=z_2 ),(y_2 = z_1):}$

Ad esempio per trovare le soluzioni del sistema $\{(x + y = 2),(x *y = -15):}$ prima si risolve l'equazione $z^2-2z-15=0$ le cui soluzioni sono $z_1=-3$ e $z_2=5$, da questo si ricava la soluzione del sistema che è data dalle coppie ordinate $\{(x_1=-3 ),(y_1 = 5):}$ e $\{(x_2=5 ),(y_2 = -3):}$

Ti ho spiegato la soluzione algebrica, anche se quella geometrica proposta da dissonance è molto utile, perchè i sistemi simmetrici di solito sono affrontati dagli studenti di seconda che non conoscono ancora bene la geometria analitica.

[ambrosiana32-votailprof]

Grazie mille ad entrambi.Finalmente ho capito come risolvere il sistema.Sinceramente non sapevo cosa fosse un sistema simmetrico.Grazie ancora.

[dissonance]

Una postilla: @Anita - attenzione perché questo sistema non è lineare. Infatti la seconda equazione è di secondo grado. Faccio notare questo fatto perché è importante, ad esempio vedi nel post di @melia un sistema di questo tipo con due soluzioni. Con i sistemi lineari una cosa del genere non può accadere, o non hai soluzione, o ne hai una sola, oppure ne hai infinite.