Sistema lineare
Problema:
Un polinomio $ P(x) $ , di terzo grado , soddisfa entrambe le seguenti condizioni:
-è divisibile per $ x $ , per $ (x-1) $ , per $ (x-2) $ .
- diviso per $ (x+1) $ dà come resto $ 12 $ .
Ponendo $ P(x)= ax^3+bx^2+cx+d $, imposta un sistema lineare per determinare i coefficienti $ a,b,c,d $
Ragionamento:
Ho provato a dividere con il metodo di Ruffini, ottenendo tre equazioni : $ a+b+c+d=0 $ , $ -a+b-c+d=12 $ , $ 8a+4b+2c+d=0 $; impostando un sistema, non riesco ad arrivare alla soluzione corretta.
Un polinomio $ P(x) $ , di terzo grado , soddisfa entrambe le seguenti condizioni:
-è divisibile per $ x $ , per $ (x-1) $ , per $ (x-2) $ .
- diviso per $ (x+1) $ dà come resto $ 12 $ .
Ponendo $ P(x)= ax^3+bx^2+cx+d $, imposta un sistema lineare per determinare i coefficienti $ a,b,c,d $
Ragionamento:
Ho provato a dividere con il metodo di Ruffini, ottenendo tre equazioni : $ a+b+c+d=0 $ , $ -a+b-c+d=12 $ , $ 8a+4b+2c+d=0 $; impostando un sistema, non riesco ad arrivare alla soluzione corretta.
Risposte
"è divisibile per $x$" l'hai usato?
"zaser123":
- diviso per $ (x+1) $ dà come risultato $ 12 $.
Sicuro di questo?
Non è piuttosto il "resto"?
"zaser123":
Problema:
Un polinomio $ P(x) $ , di terzo grado , soddisfa entrambe le seguenti condizioni:
-è divisibile per $ x $ , per $ (x-1) $ , per $ (x-2) $ .
- diviso per $ (x+1) $ dà come risultato $ 12 $ .
Ponendo $ P(x)= ax^3+bx^2+cx+d $, imposta un sistema lineare per determinare i coefficienti $ a,b,c,d $
Ragionamento:
Ho provato a dividere con il metodo di Ruffini, ottenendo tre equazioni : $ a+b+c+d=0 $ , $ -a+b-c+d=12 $ , $ 8a+4b+2c+d=0 $; impostando un sistema, non riesco ad arrivare alla soluzione corretta.
Questo problema è di quelli che rendono assurdamente difficile una cosa ovvia[nota]Per la serie "Ufficio Complicazione Cose Semplici"...
[/nota], perché lasciano da parte il buon ragionamento per concentrare l'attenzione sul calcolo.Da che libro è preso?
Inoltre, mi pare evidente che puoi risolverlo in meno tempo sfruttando meglio i dati.
Rifletti: il polinomio $P$ è di grado $3$ ed è divisibile per $x$, $x-1$ ed $x-2$ che sono primi tra loro ed hanno grado $1$... Come è fatto $P$? Si può scrivere come prodotto in un modo deducibile dai dati? Come?
Vedrai che non serve nemmeno un sistema lineare per determinare i coefficienti, ma basta una moltiplicazione.
"ghira":
"è divisibile per $x$" l'hai usato?
Ho provato ad esprimere gli altri coefficienti sulla base di $ d $ , perchè considerando la divisione credo si possa dire che $ d=x $
eyebrow control failure
"gugo82":
Vedrai che non serve nemmeno un sistema lineare per determinare i coefficienti, ma basta una moltiplicazione.
La consegna completa dice di sfruttare due metodi diversi, quello "del sistema" e quello delineato da te con il teorema del resto, mettendoli a confronto; con il secondo metodo sono riuscito ad arrivare alla soluzione, mentre ho problematicità con il sistema.
Ps: Ho sbagliato era resto, non risultato; ho corretto.
"zaser123":
[quote="ghira"]"è divisibile per $x$" l'hai usato?
Ho provato ad esprimere gli altri coefficienti sulla base di $ d $ , perchè considerando la divisione credo si possa dire che $ d=x $[/quote]
$P(0)=0$, quindi $d=0$ e non $x$
"@melia":
$P(0)=0$, quindi $d=0$ e non $x$
Ok,ho capito grazie.
"zaser123":
[quote="gugo82"]
Vedrai che non serve nemmeno un sistema lineare per determinare i coefficienti, ma basta una moltiplicazione.
La consegna completa dice di sfruttare due metodi diversi, quello "del sistema" e quello delineato da te con il teorema del resto, mettendoli a confronto [...][/quote]
Ah, ecco... Mi sembrava troppo una porcheria indicibile!
"zaser123":
[...] con il secondo metodo sono riuscito ad arrivare alla soluzione, mentre ho problematicità con il sistema.
Perché? I conti non sono nemmeno tanto brutti (pensavo peggio!)...
Infatti, ricordati i teoremi di Ruffini e del resto, il sistema è una cosa tipo:
$\{(P(0) = 0), (P(1) = 0), (P(2) = 0), (P(-1) = 12):} <=> \{(d=0),(a+b+c+d=0),(8a+4b+2c+d=0),(-a+b-c+d=12):}$
e lo puoi risolvere con le tecniche che sai.
Se sostituisci $d=0$ (che hai gratis dalla prima) nelle altre equazioni e semplifichi per $2$ la seconda, trovi:
$\{(d=0),(a+b+c=0),(4a+2b+c=0),(-a+b-c=12):}$
e puoi sommare la seconda e quarta equazione per ottenere $2b=12 <=> b=6$; sostituendo ottieni:
$\{(d=0),(a+c=-6),(4a+c=-12),(b=6):}$
e sottraendo la seconda dalla terza trovi $3a=-6 <=> a = -2$; sostituendo:
$\{(d=0),(c=-4),(a=-2),(b=6):}$,
dunque:
$P(x) = -2x^3 + 6x^2 - 4x$.
A mo' di verifica, hai:
$P(x) = -2x(x^2 - 3x + 2) = -2x(x-1)(x-2)$
e $P(-1)=12$, quindi ok.
"zaser123":
Ps: Ho sbagliato era resto, non risultato; ho corretto.
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