Sistema equazioni (parabola)
Ragazzi ho un problema:
Per trovare l'equazione della parabola dato vertice e un punto creo un sistema di equazioni
ES.
$\{(-b/(2a)=2),((1-b^2+4ac)/(4a)= 3),((-b^2+4ac)/(4a)= 4):}$
come lo risolvo per sapere l'equazione della parabola ? mi fate i passaggi e spiegate per favore?
Grazie in anticipo
Per trovare l'equazione della parabola dato vertice e un punto creo un sistema di equazioni
ES.
$\{(-b/(2a)=2),((1-b^2+4ac)/(4a)= 3),((-b^2+4ac)/(4a)= 4):}$
come lo risolvo per sapere l'equazione della parabola ? mi fate i passaggi e spiegate per favore?
Grazie in anticipo
Risposte
Ciao, quello che hai postato sembra più "Trovare la parabola dato il vertice e il fuoco".
Se invece hai vertice e un punto dovrai tenere la prima e la terza che hai scritto, più la proprietà di appartenenza (sostituzione) con le coordinate del punto.
Magari posta un esempio che lo guardiamo.
Se invece hai vertice e un punto dovrai tenere la prima e la terza che hai scritto, più la proprietà di appartenenza (sostituzione) con le coordinate del punto.
Magari posta un esempio che lo guardiamo.
Aggiunta al mio post precedente: il sistema che hai scritto si risolve facilmente spezzando la frazione che compare nella seconda equazione:$$
\frac{1-b^2+4ac}{4a} = \frac{1}{4a} + \frac{-b^2+4ac}{4a}.
$$A questo punto la seconda frazione che ho appena scritto vale esattamente $4$, come afferma la terza equazione del sistema.
\frac{1-b^2+4ac}{4a} = \frac{1}{4a} + \frac{-b^2+4ac}{4a}.
$$A questo punto la seconda frazione che ho appena scritto vale esattamente $4$, come afferma la terza equazione del sistema.
si ho sbagliato a scrivere , comunque la mia prof ha fatto un esempio che non ho capito:
v(2;5) p(1,-2)
e ha fatto questo sistema
$\{(-b/(2a)=2),(-2y=1a+b+c),((-b^2+4ac)/(4a)= 5):}$
ma non ho capito bene
Devo trovare il valore di A,B e C
v(2;5) p(1,-2)
e ha fatto questo sistema
$\{(-b/(2a)=2),(-2y=1a+b+c),((-b^2+4ac)/(4a)= 5):}$
ma non ho capito bene
Devo trovare il valore di A,B e C
Allora, prendiamo l'equazione canonica di una parabola con asse di simmetria parallelo all'asse $y$:$$y = ax^2 + bx + c.$$ Imponiamo che l'ascissa del vertice sia $2$: $$-\frac{b}{2a} = 2.$$ Imponiamo che l'ordinata del vertice sia $5$:$$\frac{4ac-b^2}{4a} = 5.$$ Imponiamo che la parabola passi per il punto $P(1, -2)$ sostituendo le sue coordinate nell'equazione della parabola:$$y = ax^2 + bx + c \Rightarrow -2 = a + b + c.$$Queste tre cose devono verificarsi contemporaneamente, quindi le mettiamo a sistema ottenendo $$\begin{cases}
-\frac{b}{2a} = 2\\
\frac{4ac-b^2}{4a} = 5\\
-2 = a + b + c
\end{cases}$$ Tutto chiaro? Riesci a risolverlo?
-\frac{b}{2a} = 2\\
\frac{4ac-b^2}{4a} = 5\\
-2 = a + b + c
\end{cases}$$ Tutto chiaro? Riesci a risolverlo?
ok grazie =) fino a qui ho capito, ma il sistema è che non riesco a risolvere , la prof mi disse che dovevo ricavarmi A,B e C , ma non ho mai capito come fare , mi potresti spigare con magari passaggi commentati? Grazie per la pazienza.
Allora, di solito si risolvono con una serie di sostituzioni successive. In questo particolare caso si può, con un po' di occhio, vedere qualche semplificazione: dalla prima ricaviamo subito$$b=-4a.$$ Sostituiamo questa espressione nella seconda e abbiamo$$
\frac{4ac - 16a^2}{4a}=5\ \ \Rightarrow\ \ \frac{4a(c-4a)}{4a} = 5\ \ \Rightarrow\ \ c = 5+4a.
$$ Sostituiamo entrambe le espressioni ricavate nella terza e otteniamo$$
-2 = a - 4a + 5 + 4a\ \ \Rightarrow\ \ a = -7.
$$ Poi ricavare $b, c$ è facile ora che conosci $a$.
\frac{4ac - 16a^2}{4a}=5\ \ \Rightarrow\ \ \frac{4a(c-4a)}{4a} = 5\ \ \Rightarrow\ \ c = 5+4a.
$$ Sostituiamo entrambe le espressioni ricavate nella terza e otteniamo$$
-2 = a - 4a + 5 + 4a\ \ \Rightarrow\ \ a = -7.
$$ Poi ricavare $b, c$ è facile ora che conosci $a$.
Non so come ringraziarti =) se ho qualche dubbio ti faccio sapere =)
Perfetto! 
Avendo vertice (-2,3) e direttrice y=7
io risolvo cosi:
$ -b/(2a)=-2$ ; $ -b=-4a$
$(-b^2+4ac)/(4a)=3$ ; $(16a^2+4ac)/(4a)=3$; $c=4a+3$
$(1-b^2+4ac)/(4a)=7$ ; -$(1+16a^2+16a^2+8a)/(4a)=7$ ...risolvendo non esce
RISULTATI$ y=-1/16x^2-1/4x+11/4x$
potete vedere cosa sbaglio?
io risolvo cosi:
$ -b/(2a)=-2$ ; $ -b=-4a$
$(-b^2+4ac)/(4a)=3$ ; $(16a^2+4ac)/(4a)=3$; $c=4a+3$
$(1-b^2+4ac)/(4a)=7$ ; -$(1+16a^2+16a^2+8a)/(4a)=7$ ...risolvendo non esce
RISULTATI$ y=-1/16x^2-1/4x+11/4x$
potete vedere cosa sbaglio?
La formula della direttrice è$$y=\frac{-1-\Delta}{4a}.$$ Ti manca il segno $-$ davanti all'$1$.
anche col meno davanti all'uno non esce =)
Allora vediamo un po'...$$\begin{cases}
-\frac{b}{2a} = -2\\
\frac{4ac-b^2}{4a} = 3\\
\frac{-1+4ac-b^2}{4a} = 7
\end{cases}$$ La terza la puoi scrivere come $$
-\frac{1}{4a} + \frac{4ac-b^2}{4a} = 7
$$ ma adesso la seconda frazione che ho appena scritto vale $3$ in base a quanto dice la seconda equazione, quindi $$
-\frac{1}{4a} + 3 = 7
$$ da cui si ricava $a$ e, di conseguenza, $b, c$.
-\frac{b}{2a} = -2\\
\frac{4ac-b^2}{4a} = 3\\
\frac{-1+4ac-b^2}{4a} = 7
\end{cases}$$ La terza la puoi scrivere come $$
-\frac{1}{4a} + \frac{4ac-b^2}{4a} = 7
$$ ma adesso la seconda frazione che ho appena scritto vale $3$ in base a quanto dice la seconda equazione, quindi $$
-\frac{1}{4a} + 3 = 7
$$ da cui si ricava $a$ e, di conseguenza, $b, c$.
C'è un errore nei calcoli della seconda riga di Dominer: $-b^2=-(-4a)^2=-16a^2$
Grazie aver segnalato il mio errore, ora capisco perchè la soluzione del libro era diversa dalla mia pur svolgendo tutto quasi correttamente, un altro aiuto vi chiedo.. quando il libro mi chiede di trovare l'equazione della parabola con asse parallelo a quello delle x avendo vertice e punto che sistema imposto?
io faccio cosi':
$y=ax^2+bx+c$ passaggio per vertice
$y=ax^2+bx+c$ passaggio punto
$-b/(2a)=x$ passaggio per l'ascissa del vertice
con asse parallelo a quello delle y invece non so che sistema impostare.. mi potete aiutare?
io faccio cosi':
$y=ax^2+bx+c$ passaggio per vertice
$y=ax^2+bx+c$ passaggio punto
$-b/(2a)=x$ passaggio per l'ascissa del vertice
con asse parallelo a quello delle y invece non so che sistema impostare.. mi potete aiutare?
C'è qualcosa che non va... Se l'asse di simmetria della parabola è parallelo all'asse $y$ allora $$x_v = -\frac{b}{2a} \qquad y_v = -\frac{\Delta}{4a} = \frac{4ac-b^2}{4a}$$ Altrimenti (asse di simmetria parallelo all'asse $x$) le formule si scambiano.
quindi invece della formula della ascissa, metto quella dell'ordinata?
potete scrivere il sistema da risolvere sia quando la parabola ha l'asse parallelo alle x e sia quando è parallelo alle y? =)
"Dominer":
potete scrivere il sistema da risolvere sia quando la parabola ha l'asse parallelo alle x e sia quando è parallelo alle y? =)
Ti girare il piano, ovvero scambiare tutte le x con y e viceversa.
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