Sistema di equazioni letterale di primo grado
Dato il sistema
$(a+b)x-by=b^2$
$ax+2by=3ab$
Ho provato a risolverlo con il metodo di confronto. Dopo alcuni passaggi arrivo a calcolare
$y= (ab(3a+2b) )/(b(3a+2b))$
Apriamo una discussione:
$a=-2/3b vv b =0$
Per questi valori l’equazione è indeterminata e risulta indeterminato anche il sistema considerato.
$a!=-2/3b vv b !=0$
Il sistema è determinato con il valore di $y = a$
Usando il metodo di sostituzione ricavo infine
$x=(b(b+a))/(a+b)$
Come si può notare con $a=-b$ l’equazione è indeterminata.
Il sistema però per questo valore non lo è! bIl valore di $x$ è uguale quindi a $b$
Il mio dubbio è :
risolvendo un sistema letterale come in questo caso con il metodo di sostituzione, di confronto, di eliminazione ho notato che non sempre i valori trovati durante le discussioni sono le soluzioni del sistema.
Ma allora in questi casi bisogna verificare i valori trovati per essere certi o esiste un altro modo?
Per esempio io faccio così:
dato che il sistema è equivalente a:
$x=(b(y+b))/(a+b)$
$x=(b(3a-2y))/a$
intuisco che il valore $-b$ è da escludere.
Spero di essere stato chiaro.
P.S : non ho parlato del metodo di Cramer perchè in questo caso il problema espresso non si presenta.
$(a+b)x-by=b^2$
$ax+2by=3ab$
Ho provato a risolverlo con il metodo di confronto. Dopo alcuni passaggi arrivo a calcolare
$y= (ab(3a+2b) )/(b(3a+2b))$
Apriamo una discussione:
$a=-2/3b vv b =0$
Per questi valori l’equazione è indeterminata e risulta indeterminato anche il sistema considerato.
$a!=-2/3b vv b !=0$
Il sistema è determinato con il valore di $y = a$
Usando il metodo di sostituzione ricavo infine
$x=(b(b+a))/(a+b)$
Come si può notare con $a=-b$ l’equazione è indeterminata.
Il sistema però per questo valore non lo è! bIl valore di $x$ è uguale quindi a $b$
Il mio dubbio è :
risolvendo un sistema letterale come in questo caso con il metodo di sostituzione, di confronto, di eliminazione ho notato che non sempre i valori trovati durante le discussioni sono le soluzioni del sistema.
Ma allora in questi casi bisogna verificare i valori trovati per essere certi o esiste un altro modo?
Per esempio io faccio così:
dato che il sistema è equivalente a:
$x=(b(y+b))/(a+b)$
$x=(b(3a-2y))/a$
intuisco che il valore $-b$ è da escludere.
Spero di essere stato chiaro.
P.S : non ho parlato del metodo di Cramer perchè in questo caso il problema espresso non si presenta.
Risposte
Non ho letto se non parzialmente la tua soluzione.
Riporto la mia di seguito :
* se $b ne 0; a ne -2b/3 $ una sola soluzione da calcolare col metodo di sostituzione , la regola di Cramer .. a piacere.
* se $ b=0 ; a ne 0 $ si hanno $oo ^ 1 $ soluzioni date da $ x=0 ; y in RR $ qualunque.
* se $b=a =0 $ si hanno $oo ^2 $ soluzioni date da $x in RR$ qualunque ; $y in RR $ qualunque.
* se $ a=-2b/3 ; b ne 0 $ si hanno $oo ^1 $ soluzioni date da $ x in RR $qualunque ;$ y=x/3-b $
SEO
Riporto la mia di seguito :
* se $b ne 0; a ne -2b/3 $ una sola soluzione da calcolare col metodo di sostituzione , la regola di Cramer .. a piacere.
* se $ b=0 ; a ne 0 $ si hanno $oo ^ 1 $ soluzioni date da $ x=0 ; y in RR $ qualunque.
* se $b=a =0 $ si hanno $oo ^2 $ soluzioni date da $x in RR$ qualunque ; $y in RR $ qualunque.
* se $ a=-2b/3 ; b ne 0 $ si hanno $oo ^1 $ soluzioni date da $ x in RR $qualunque ;$ y=x/3-b $
SEO
Volevo fissare meglio le idee esponendo se ho capito il tuo ragionamento:
dal sistema
$(a+b)x-by=b^2$
$ax+2by=3ab$
con il metodo di confronto arrivo a
$y= (ab(3a+2b) )/(b(3a+2b))$
e usando il metodo di sostituzione ricavo infine
$x=(b(b+a))/(a+b)$
A questo punto io apro due discussioni 1 per l'incognita $y$ e 1 per l'incognita $x$ e verifico quello che succede ponendo per esempio
$b=0$ nel sistema
$y= (ab(3a+2b) )/(b(3a+2b))$
$x=(b(b+a))/(a+b)$
In questo caso ho $x=0$ e $y in RR $ qualsiasi
che tu esprimi (usando il tuo modo) con un'infinita soluzione data da $y$ e una data da $x=0$
Andando avanti se ho capito come tu hai risolto il sistema mi chiedo, come mai nella seconda equazione di arrivo cioè
$x=(b(b+a))/(a+b)$ non prendi in considerazione $a=-b$;
in questo caso avremmo avuto $x in RR $ qualsiasi e $y=-b$
Grazie per la collaborazione
dal sistema
$(a+b)x-by=b^2$
$ax+2by=3ab$
con il metodo di confronto arrivo a
$y= (ab(3a+2b) )/(b(3a+2b))$
e usando il metodo di sostituzione ricavo infine
$x=(b(b+a))/(a+b)$
A questo punto io apro due discussioni 1 per l'incognita $y$ e 1 per l'incognita $x$ e verifico quello che succede ponendo per esempio
$b=0$ nel sistema
$y= (ab(3a+2b) )/(b(3a+2b))$
$x=(b(b+a))/(a+b)$
In questo caso ho $x=0$ e $y in RR $ qualsiasi
che tu esprimi (usando il tuo modo) con un'infinita soluzione data da $y$ e una data da $x=0$
Andando avanti se ho capito come tu hai risolto il sistema mi chiedo, come mai nella seconda equazione di arrivo cioè
$x=(b(b+a))/(a+b)$ non prendi in considerazione $a=-b$;
in questo caso avremmo avuto $x in RR $ qualsiasi e $y=-b$
Grazie per la collaborazione
Se $ a=-b $ allora il sistema diventa :
$0.x-by=b^2$
$-bx+2by=-3b^2 $.
da cui , se $ b ne 0 $ si ottiene $y=-b$ , $x= b $ , quindi una e una sola soluzione.
Se invece è anche $b=0 $ ( cioè $a=b=0 $ ) allora si hanno $oo ^2 $ soluzioni , cioè $x,y $ posono essere assumere qualunque valore reale .
$0.x-by=b^2$
$-bx+2by=-3b^2 $.
da cui , se $ b ne 0 $ si ottiene $y=-b$ , $x= b $ , quindi una e una sola soluzione.
Se invece è anche $b=0 $ ( cioè $a=b=0 $ ) allora si hanno $oo ^2 $ soluzioni , cioè $x,y $ posono essere assumere qualunque valore reale .
Volevo essere sicuro di aver capito per cui insisto ancora con la discussione:
dal sistema $1$
$(a+b)x-by=b^2$
$ax+2by=3ab$
con il metodo di confronto arrivo a
$y= (ab(3a+2b) )/(b(3a+2b))$
e usando il metodo di sostituzione ricavo infine
$x=(b(b+a))/(a+b)$
A questo punto io apro due discussioni 1 per l'incognita $y$ e 1 per l'incognita $x$ e verifico per ogni punto della discussione quello che succede nel sistema $1$ (cioè quello di partenza)
Per esempio per $b=0 ^^a!=0$ l'equazione
$y= (ab(3a+2b) )/(b(3a+2b))$ risulta indeterminata; mentre l'equazione $x=(b(b+a))/(a+b)$ risulta determinata con $x=0$
La soluzione è quindi $yinRR$qualsiasi e $x=0$
La domanda è: si deve osservare sempre quello che accade nel sistema di partenza o basta verificare quello che succede nei valori delle due incognite trovate con uno dei metodi conosciuti.
Per esempio quando tu hai considerato $a=-b$ ho visto che hai osservato quello che accadeva nel sistema $1$
Io invece ho provato a vedere quello che accadeva ponendo $a=-b$ nel sistema equivalente a quello di partenza, cioè quello dato dai valori
$y= (ab(3a+2b) )/(b(3a+2b))$
$x=(b(b+a))/(a+b)$
e ottenevo infatti risultati errati.
Quindi io penso che i punti delle discussioni vanno verificati sempre sul sistema di partenza.
Aspetto però una tua conferma...
dal sistema $1$
$(a+b)x-by=b^2$
$ax+2by=3ab$
con il metodo di confronto arrivo a
$y= (ab(3a+2b) )/(b(3a+2b))$
e usando il metodo di sostituzione ricavo infine
$x=(b(b+a))/(a+b)$
A questo punto io apro due discussioni 1 per l'incognita $y$ e 1 per l'incognita $x$ e verifico per ogni punto della discussione quello che succede nel sistema $1$ (cioè quello di partenza)
Per esempio per $b=0 ^^a!=0$ l'equazione
$y= (ab(3a+2b) )/(b(3a+2b))$ risulta indeterminata; mentre l'equazione $x=(b(b+a))/(a+b)$ risulta determinata con $x=0$
La soluzione è quindi $yinRR$qualsiasi e $x=0$
La domanda è: si deve osservare sempre quello che accade nel sistema di partenza o basta verificare quello che succede nei valori delle due incognite trovate con uno dei metodi conosciuti.
Per esempio quando tu hai considerato $a=-b$ ho visto che hai osservato quello che accadeva nel sistema $1$
Io invece ho provato a vedere quello che accadeva ponendo $a=-b$ nel sistema equivalente a quello di partenza, cioè quello dato dai valori
$y= (ab(3a+2b) )/(b(3a+2b))$
$x=(b(b+a))/(a+b)$
e ottenevo infatti risultati errati.
Quindi io penso che i punti delle discussioni vanno verificati sempre sul sistema di partenza.
Aspetto però una tua conferma...
Sì i punti della discussione vanno verificati sul sistema iniziale.. a meno che le elaborazioni successive siano proprio equivalenti a quella iniziale.
Io converto il sistema lineare in una equazione matriciale $Ax = b $ essndo $A $ la matrice dei coefficienti, $x $ il vettore incognite e $b $ il vettore termini noti.
In questo caso il sistema è quadrato , cioè la matrice $ A $ è quadrata, 2x2, tante incognite tante equazioni.
Se $ det A ne 0 $ allora il sistema ha una e una sola soluzione , cioè una sola n-pla di valori per le incognite.
Se $ det A =0 $ bisogna allora vedere il rango di $ A $ e confrontarlo con quello della matrice completa $ (A|b ) $ .
Se i due ranghi sono uguali il sistema ha soluzioni per il Teorema di Rouchè -Capelli ) e precisamente ne ha $ oo ^(n-r)$ essendo
$ n $ il numero di incognite ed $ r $ il rango della matrice $ A $.
Se invece i due ranghi sono diversi il sistema è impossibile.
Io converto il sistema lineare in una equazione matriciale $Ax = b $ essndo $A $ la matrice dei coefficienti, $x $ il vettore incognite e $b $ il vettore termini noti.
In questo caso il sistema è quadrato , cioè la matrice $ A $ è quadrata, 2x2, tante incognite tante equazioni.
Se $ det A ne 0 $ allora il sistema ha una e una sola soluzione , cioè una sola n-pla di valori per le incognite.
Se $ det A =0 $ bisogna allora vedere il rango di $ A $ e confrontarlo con quello della matrice completa $ (A|b ) $ .
Se i due ranghi sono uguali il sistema ha soluzioni per il Teorema di Rouchè -Capelli ) e precisamente ne ha $ oo ^(n-r)$ essendo
$ n $ il numero di incognite ed $ r $ il rango della matrice $ A $.
Se invece i due ranghi sono diversi il sistema è impossibile.
Grazie sempre per le delucidazioni.
Quindi in sistemi quadrati di questo tipo è preferibile usare la regola di Cramer, impostando le matrici, o i metodi tradizionali come quello di sostituzione, eliminazione e confronto?
Io ho risolto il sistema in questione utilizzando i vari metodi ma con la regola di Cramer ho fatto prima. Tu cosa ne pensi!
Adesso studierò anche le matrici e proverò, per i sistemi più complessi, il metodo di Gauss.
Quindi in sistemi quadrati di questo tipo è preferibile usare la regola di Cramer, impostando le matrici, o i metodi tradizionali come quello di sostituzione, eliminazione e confronto?
Io ho risolto il sistema in questione utilizzando i vari metodi ma con la regola di Cramer ho fatto prima. Tu cosa ne pensi!
Adesso studierò anche le matrici e proverò, per i sistemi più complessi, il metodo di Gauss.
La regola di Cramer per i sistemi quadrati va bene purchè sia $det A ne 0 $ .
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