Sistema di equazioni e disequazioni
Salve a tutti! 
Da un bel pò vi seguo ed ho trovato molto utili i vostri argomenti ma adesso anche io avrei bisogno di un aiuto.
Per voi sarà semplice penso però io trovo molta difficoltà.
Ho un sistema così strutturato:
$x*b_1 = a_1$
$y*b_2 = a_2$
$z*b_3 = a_3$
$b_1 + b_2 + b_3 <= a_1 + a_2 + a_3$
x, y e z sono delle variabili che io conosco ma che cambiano. Voi sapreste aiutarmi??
Da un bel pò vi seguo ed ho trovato molto utili i vostri argomenti ma adesso anche io avrei bisogno di un aiuto.
Per voi sarà semplice penso però io trovo molta difficoltà.
Ho un sistema così strutturato:
$x*b_1 = a_1$
$y*b_2 = a_2$
$z*b_3 = a_3$
$b_1 + b_2 + b_3 <= a_1 + a_2 + a_3$
x, y e z sono delle variabili che io conosco ma che cambiano. Voi sapreste aiutarmi??
Risposte
non capisco che cosa devi fare di questo sistema misto
Voglio riuscire a trovare b1 , b2 , b1. In modo che comunque calcolando la moltiplicazione con le variabili x, y e z, la loro somma non venga maggiore di tutte le a.
Cioè io ho questi 3 numeri che conosco e vorrei trovare una legge generica in modo che la somma di b1, b2, b3 venga inferiore alla somma di a1, a2, a3. In pratica mi devo calcolare tutte le b dato che le a vengono fuori da quella moltiplicazione.
Capisci più o meno?
Cioè io ho questi 3 numeri che conosco e vorrei trovare una legge generica in modo che la somma di b1, b2, b3 venga inferiore alla somma di a1, a2, a3. In pratica mi devo calcolare tutte le b dato che le a vengono fuori da quella moltiplicazione.
Capisci più o meno?
nessuno che è in grado di aiutarmi??
Non saprei come
Hai 3 equazioni, una disequazione e ben 6 incognite, il massimo che si possa ottenere è $b_1(x-1)+b_2(y-1)+b_3(z-1)>=0$
Hai 3 equazioni, una disequazione e ben 6 incognite, il massimo che si possa ottenere è $b_1(x-1)+b_2(y-1)+b_3(z-1)>=0$
Dunque devo alzare il numero delle equazioni giusto?? devo salire sino a 6 equazioni giusto?? Però non so proprio come fare. :S
Il discorso è appunto questo: ho 3 variabili che conosco. Posso moltiplicare queste variabili per altrettante incognite ed ottenere altre 3 incognite. Dunque totale 6 incognite. Solo che devo fare in modo che la somma delle prime 3 incognite venga minore (ad uno ad uno) di ogni singola variabile.
Aspetta ma così invece si potrebbe risolvere:
$x*b_1=a_1$
$y*b_2=a_2$
$z*b_3=a_3$
$b_1+b_2+b_3>=a_1$
$b_1+b_2+b_3>=a_2$
$b_1+b_2+b_3>=a_3$
Così come ti sembra? In questo modo penso che sia possibile risolverlo.
Il discorso è appunto questo: ho 3 variabili che conosco. Posso moltiplicare queste variabili per altrettante incognite ed ottenere altre 3 incognite. Dunque totale 6 incognite. Solo che devo fare in modo che la somma delle prime 3 incognite venga minore (ad uno ad uno) di ogni singola variabile.
Aspetta ma così invece si potrebbe risolvere:
$x*b_1=a_1$
$y*b_2=a_2$
$z*b_3=a_3$
$b_1+b_2+b_3>=a_1$
$b_1+b_2+b_3>=a_2$
$b_1+b_2+b_3>=a_3$
Così come ti sembra? In questo modo penso che sia possibile risolverlo.
Sempre più misterioso, perchè scrivi una frase e delle formule che sembrano avere tutt'altro significato; propongo qualche passo indietro. Per prima cosa, accordiamoci sul significato delle parole: se ben capisco (correggimi se sbaglio), chiami variabili le lettere $x,y,z$, prime incognite le lettere $b_1, b_2,b_3$ e seconde incognite $a_1, a_2,a_3$. Come seconda cosa, sarebbe utile conoscere l'origine di questo problema: non credo che venga da un libro perché ne avresti saputo meglio l'enunciato, quindi presumo sia un problema pratico. Forse conoscendolo potremmo aiutarti ad impostarlo e dirti se è risolubile o no.
Tutto è partito da una discussione che ho avuto con un mio amico e siamo arrivati ad una conclusione.
In pratica si hanno queste 3 variabili che chiameremo x,y,z ed hanno sempre valore maggiore di 1. Ogni persona punta un determinato numero di soldi che sia maggiore a 2. Ora però al massimo possono scommettere 3 persone (ipotizza che sono 3 fratelli). Ogni puntata la chiamiamo b1,b2,b3 (per il numero di fratelli). Il guadagno di ogni singola puntata lo chiamiamo a1,a2,a3. In questa scommessa è possibile che vinca solo uno dei fratelli ma vuole guadagnare abbastanza da poter recuperare anche la puntata dei due fratelli per ridargliela.
Penso che il problema sia chiaro adesso. Ecco che il mio amico diceva che non riuscivo a risolverlo, ma io essendo molto testardo mi sono messo un pò e mi sono creato questo sistema (poi modificato perchè era effettivamente sbagliato).
Che si potrebbe fare?
In pratica si hanno queste 3 variabili che chiameremo x,y,z ed hanno sempre valore maggiore di 1. Ogni persona punta un determinato numero di soldi che sia maggiore a 2. Ora però al massimo possono scommettere 3 persone (ipotizza che sono 3 fratelli). Ogni puntata la chiamiamo b1,b2,b3 (per il numero di fratelli). Il guadagno di ogni singola puntata lo chiamiamo a1,a2,a3. In questa scommessa è possibile che vinca solo uno dei fratelli ma vuole guadagnare abbastanza da poter recuperare anche la puntata dei due fratelli per ridargliela.
Penso che il problema sia chiaro adesso. Ecco che il mio amico diceva che non riuscivo a risolverlo, ma io essendo molto testardo mi sono messo un pò e mi sono creato questo sistema (poi modificato perchè era effettivamente sbagliato).
Che si potrebbe fare?
Adesso è più chiaro; scrivo qui le mie riflessioni su quello che dici ed i risultati finora ottenuti.
1) Se i fratelli giocassero solo fra loro, i soldi vinti da uno sarebbero le puntate degli altri, e ci sarebbe sempre pareggio. Devo quindi concludere che c'è un quarto giocatore; per fissare le idee supporrò che sia una lotteria. Mi chiedo chi può essere così stupido da organizzare una lotteria in cui il guadagno non è mai superiore alla perdita, ma non poniamo limiti all'idiozia umana (a meno che sia falsa la mia riflessione 2).
2) Dici che può vincere uno solo dei fratelli, ma i tuoi calcoli presuppongono che uno vinca sicuramente; continuiamo con questa ipotesi.
3) La condizione che $x,y,z$ siano maggiori di 1 è fondamentale; avevo supposto che ci fosse partendo dall'ipotesi che tutte le grandezze in esame fossero positive, come succede quasi sempre nei problemi pratici. Mi sembra invece irrilevante il fatto che le puntate abbiano un valore maggiore di 2: una volta trovata una soluzione, moltiplicando o dividendo tutte le puntate per un numero positivo a piacere si ottiene un'altra soluzione. Volendo, si può sfruttare questo fatto per imporre che una puntata valga 1.
4) Passo ora ai calcoli che ho fatto; per semplicità di scrittura, trascuro gli uguali. Il sistema che ti interessa è
${ (b_1+b_2+b_3
Sostituendo nelle altre due e leggendo al contrario ottengo
$b_2 y>(b_2+b_3)/(x-1)+(b_2+b_3)=(b_2+b_3)x/(x-1)$
$b_3 z>(b_2+b_3)/(x-1)+(b_2+b_3)=(b_2+b_3)x/(x-1)$
Moltiplico la prima per $z$ e la seconda per $y$ e sommo membro a membro; ottengo
$yz(b_2+b_3)>(b_2+b_3)(xz+xy)/(x-1)$
Semplificando per $b_2+b_3$ e dando denominatore comune:
$xyz>xy+xz+yz$
quindi il problema è possibile solo se le quote soddisfano questa condizione e non credo succeda sempre. I miei calcoli, almeno per ora, si fermano qui.
1) Se i fratelli giocassero solo fra loro, i soldi vinti da uno sarebbero le puntate degli altri, e ci sarebbe sempre pareggio. Devo quindi concludere che c'è un quarto giocatore; per fissare le idee supporrò che sia una lotteria. Mi chiedo chi può essere così stupido da organizzare una lotteria in cui il guadagno non è mai superiore alla perdita, ma non poniamo limiti all'idiozia umana (a meno che sia falsa la mia riflessione 2).
2) Dici che può vincere uno solo dei fratelli, ma i tuoi calcoli presuppongono che uno vinca sicuramente; continuiamo con questa ipotesi.
3) La condizione che $x,y,z$ siano maggiori di 1 è fondamentale; avevo supposto che ci fosse partendo dall'ipotesi che tutte le grandezze in esame fossero positive, come succede quasi sempre nei problemi pratici. Mi sembra invece irrilevante il fatto che le puntate abbiano un valore maggiore di 2: una volta trovata una soluzione, moltiplicando o dividendo tutte le puntate per un numero positivo a piacere si ottiene un'altra soluzione. Volendo, si può sfruttare questo fatto per imporre che una puntata valga 1.
4) Passo ora ai calcoli che ho fatto; per semplicità di scrittura, trascuro gli uguali. Il sistema che ti interessa è
${ (b_1+b_2+b_3
Sostituendo nelle altre due e leggendo al contrario ottengo
$b_2 y>(b_2+b_3)/(x-1)+(b_2+b_3)=(b_2+b_3)x/(x-1)$
$b_3 z>(b_2+b_3)/(x-1)+(b_2+b_3)=(b_2+b_3)x/(x-1)$
Moltiplico la prima per $z$ e la seconda per $y$ e sommo membro a membro; ottengo
$yz(b_2+b_3)>(b_2+b_3)(xz+xy)/(x-1)$
Semplificando per $b_2+b_3$ e dando denominatore comune:
$xyz>xy+xz+yz$
quindi il problema è possibile solo se le quote soddisfano questa condizione e non credo succeda sempre. I miei calcoli, almeno per ora, si fermano qui.
Il motivo per cui sto scrivendo è che mi è stato posto lo stesso problema che ha incontrato Phenryx.
Un tipico scenario di applicazione sono le scommesse calcistiche sui tre segni 1, X, 2.
Lo scopo è ovviamente trovare una terna ordinata di valori $b_1, b_2, b_3$ (le puntate sui tre segni) che garantisca una vincita (anche se infima).
Non importa cercare i limiti dell'idiozia umana perché, sebbene il fatto che il sistema abbia soluzioni sia accuratamente evitato dai bookmakers per le tre quote (x, y, z) della propria agenzia di scommesse, agenzie diverse propongono quote leggermente diverse.
Finiti i preamboli passo alla matematica.
La disequazione $xyz>xy+xz+yz$ porta a $z>(xy)/(xy-x-y)$ e quindi a $y!=x/(x-1)$.
Arrivati qui siamo solo alla punta dell'iceberg. Ok abbiamo trovato una terna $x, y, z$ che assicura una vincita, sì ma che $b_1, b_2, b_3$ scegliamo? Sarebbe il caso, ora, di modificare il sistema così:
$\{(b_1*x=b_1+b_2+b_3+v_1),(b_2*y=b_1+b_2+b_3+v_2), (b_3*z=b_1+b_2+b_3+v_3):}$ dove $v_1, v_2, v_3$ sono ovviamente le vincite nette in caso di esito favorevole delle rispettive scommesse. In questo sistema $x$, $y$ e $z$ sono costanti (se troviamo delle quote che risolvono il sistema di disequazioni usiamo quelle). Avremmo quindi 3 equazioni e 6 incognite, ma vogliamo avere comunque almeno un grado di libertà (dovrò pur decidere io quanto puntare complessivamente, no?) e quindi sparirà una delle 3 b (concetualmente è più semplice rendere tutto proporzionale a $b_1+b_2+b_3$, ma dal punto di vista dei calcoli no). Da 3 equazioni ne ricaviamo una in sole $x, y, z, v_1, v_2, v_3$. Siccome vogliamo vincere qualcosina dobbiamo imporre
$\{(v_1>0), (v_2>0), (v_3>0):}$. Questo ci permette di assumere, ad esempio, $v_1$ e $v_2$ proporzionali a $v_3$, cioè
$\{(v_1=\alpha*v_3),(v_2=\beta*v_3),(\alpha>0),(\beta>0):}$.
Ora o prendiamo $\alpha$ e $\beta$ a caso e ricaviamo $v_3$ oppure cerchiamo di massimizzare per esempio $(v_1+v_2+v_3)/(b_1+b_2+b_3)$. Io ho cercato il max di $v_1/b_1$, ma dai calcoli che ho fatto, gli $\alpha_0$ e $\beta_0$ che annullano il gradiente annullano anche il determinante hessiano e la funzione stessa. Per ora quindi ho scelto $\alpha$ e $\beta$ un po' a caso ed ho scritto un programmino in C che mi dice come scegliere $z$ dati $x$ e $y$ e che calcola $b_1, b_2, b_3$ data la somma dei tre. Ho incontrato però un problema. Per capire quali terne $x, y, z$ risolvono il sistema di disequazioni possiamo osservare il grafico di $z(x,y)=(xy)/(xy-x-y)$ insieme a quelli delle superfici $x=1$, $y=1$ e $y=x/(x-1)$ (i punti di $z(x,y)$ che stanno su questa superficie non vanno scelti perché hanno $z=oo$, ma questo l'abbiamo visto all'inizio). Da questi grafici si vede che esistono punti della superficie $z(x,y)$, molto vicini ai piani $x=1$ e $y=1$ in cui $z(x,y)<1$. Questo sembra dirci che va bene una z qualsiasi (tanto sono tutte maggiori di 1), ma facendo i conti ottengo $b_1, b_2, b_3<0$
Dove ho toppato allora? Sarà forse colpa di $\alpha$ e $\beta$?
Un tipico scenario di applicazione sono le scommesse calcistiche sui tre segni 1, X, 2.
Lo scopo è ovviamente trovare una terna ordinata di valori $b_1, b_2, b_3$ (le puntate sui tre segni) che garantisca una vincita (anche se infima).
Non importa cercare i limiti dell'idiozia umana perché, sebbene il fatto che il sistema abbia soluzioni sia accuratamente evitato dai bookmakers per le tre quote (x, y, z) della propria agenzia di scommesse, agenzie diverse propongono quote leggermente diverse.
Finiti i preamboli passo alla matematica.
La disequazione $xyz>xy+xz+yz$ porta a $z>(xy)/(xy-x-y)$ e quindi a $y!=x/(x-1)$.
Arrivati qui siamo solo alla punta dell'iceberg. Ok abbiamo trovato una terna $x, y, z$ che assicura una vincita, sì ma che $b_1, b_2, b_3$ scegliamo? Sarebbe il caso, ora, di modificare il sistema così:
$\{(b_1*x=b_1+b_2+b_3+v_1),(b_2*y=b_1+b_2+b_3+v_2), (b_3*z=b_1+b_2+b_3+v_3):}$ dove $v_1, v_2, v_3$ sono ovviamente le vincite nette in caso di esito favorevole delle rispettive scommesse. In questo sistema $x$, $y$ e $z$ sono costanti (se troviamo delle quote che risolvono il sistema di disequazioni usiamo quelle). Avremmo quindi 3 equazioni e 6 incognite, ma vogliamo avere comunque almeno un grado di libertà (dovrò pur decidere io quanto puntare complessivamente, no?) e quindi sparirà una delle 3 b (concetualmente è più semplice rendere tutto proporzionale a $b_1+b_2+b_3$, ma dal punto di vista dei calcoli no). Da 3 equazioni ne ricaviamo una in sole $x, y, z, v_1, v_2, v_3$. Siccome vogliamo vincere qualcosina dobbiamo imporre
$\{(v_1>0), (v_2>0), (v_3>0):}$. Questo ci permette di assumere, ad esempio, $v_1$ e $v_2$ proporzionali a $v_3$, cioè
$\{(v_1=\alpha*v_3),(v_2=\beta*v_3),(\alpha>0),(\beta>0):}$.
Ora o prendiamo $\alpha$ e $\beta$ a caso e ricaviamo $v_3$ oppure cerchiamo di massimizzare per esempio $(v_1+v_2+v_3)/(b_1+b_2+b_3)$. Io ho cercato il max di $v_1/b_1$, ma dai calcoli che ho fatto, gli $\alpha_0$ e $\beta_0$ che annullano il gradiente annullano anche il determinante hessiano e la funzione stessa. Per ora quindi ho scelto $\alpha$ e $\beta$ un po' a caso ed ho scritto un programmino in C che mi dice come scegliere $z$ dati $x$ e $y$ e che calcola $b_1, b_2, b_3$ data la somma dei tre. Ho incontrato però un problema. Per capire quali terne $x, y, z$ risolvono il sistema di disequazioni possiamo osservare il grafico di $z(x,y)=(xy)/(xy-x-y)$ insieme a quelli delle superfici $x=1$, $y=1$ e $y=x/(x-1)$ (i punti di $z(x,y)$ che stanno su questa superficie non vanno scelti perché hanno $z=oo$, ma questo l'abbiamo visto all'inizio). Da questi grafici si vede che esistono punti della superficie $z(x,y)$, molto vicini ai piani $x=1$ e $y=1$ in cui $z(x,y)<1$. Questo sembra dirci che va bene una z qualsiasi (tanto sono tutte maggiori di 1), ma facendo i conti ottengo $b_1, b_2, b_3<0$
Dove ho toppato allora? Sarà forse colpa di $\alpha$ e $\beta$?
Un po' di precisazioni.
Spero che le conclusioni a cui sono giunto siano un buon passo avanti verso la soluzione del problema di Phenryx (a meno che in questo anno e mezzo abbia già risolto o gettato la spugna definitivamente). I conti sono un bel malloppo, ma posso postare le formule finali per il calcolo di $b_1, b_2, b_3, v_1, v_2, v_3$ in funzione di $b_1+b_2+b_3$ (direi di chiamarla $s$ a questo punto), e di $x, y, z, \alpha, \beta$. Ho notato che ci sono delle lievi discrepanze fra il calcolo delle $v$ che esegue il mio programma con le formule suddette e $v_1=b_1*x-s$ nonostante abbia usato tutte variabili in doppia precisione. In effetti i formuloni servivano solo per $b_1, b_2$ e $b_3$ ma già che c'ero ho voluto ricavare anche quelle per $v_1, v_2$ e $v_3$ proprio per verificarne la correttezza in questo modo. Ora le differenze sono davvero piccole e non so se ho davvero sbagliato i conti o se ho impostato le equazioni in modo che gli errori dovuti alla precisione finita si propaghino troppo. In definitiva, a parte questo, funziona tutto abbastanza bene, mentre per i punti che stanno qui dentro non funziona un bel niente.
$\{(z>(xy)/(xy-x-y)),(y1),(y>1),(z>1):}$
Spero che le conclusioni a cui sono giunto siano un buon passo avanti verso la soluzione del problema di Phenryx (a meno che in questo anno e mezzo abbia già risolto o gettato la spugna definitivamente). I conti sono un bel malloppo, ma posso postare le formule finali per il calcolo di $b_1, b_2, b_3, v_1, v_2, v_3$ in funzione di $b_1+b_2+b_3$ (direi di chiamarla $s$ a questo punto), e di $x, y, z, \alpha, \beta$. Ho notato che ci sono delle lievi discrepanze fra il calcolo delle $v$ che esegue il mio programma con le formule suddette e $v_1=b_1*x-s$ nonostante abbia usato tutte variabili in doppia precisione. In effetti i formuloni servivano solo per $b_1, b_2$ e $b_3$ ma già che c'ero ho voluto ricavare anche quelle per $v_1, v_2$ e $v_3$ proprio per verificarne la correttezza in questo modo. Ora le differenze sono davvero piccole e non so se ho davvero sbagliato i conti o se ho impostato le equazioni in modo che gli errori dovuti alla precisione finita si propaghino troppo. In definitiva, a parte questo, funziona tutto abbastanza bene, mentre per i punti che stanno qui dentro non funziona un bel niente.
$\{(z>(xy)/(xy-x-y)),(y
Bè in effetti le scommesse calcistiche sono proprio fatte così. E logicamente non ci sarà da aspettarsi un granché di vincita per quanto riguarda questo tipo di giocate, anzi tutto sarà molto minimo, perché appunto devi andare a recuperare le tre puntate che hai fatto più vincere qualcosa.
In ogni caso già avevo risolto un pò il problema. Avevo scoperto, proprio in questo ambito, calcoli abbastanza sempliciotti che ti permettevano di sapere se tre quote di scommesse riuscissero ad essere delle Sure Bet. Se vuoi cerco e ti posto un link per farti vedere.
Comunque il tuo commento mi è pure servito per avere una bella delucidazione.
Thanks!
In ogni caso già avevo risolto un pò il problema. Avevo scoperto, proprio in questo ambito, calcoli abbastanza sempliciotti che ti permettevano di sapere se tre quote di scommesse riuscissero ad essere delle Sure Bet. Se vuoi cerco e ti posto un link per farti vedere.
Comunque il tuo commento mi è pure servito per avere una bella delucidazione.
Thanks!
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