Sistema di equazioni, due domande
Ciao volevo chiedere riguardo un dubbio
Se io avessi un sistema con 3 incognite e volessi mettere in relazione a due di esse
ad esempio sia il sistema
$v=g(x,y)$
$r=d(x,y)$
e voglio esplicitare in x,y
Seguendo il principio di equivalenza dei sistemi so che posso solamente usare una combinazione lineare della prima equazione con la seconda per semplificarmi la vita sui calcoli.
I due dubbi sono i seguenti:
1) il princpio suddetto vale solo peri sistemi lieari o per qualunque tipo di sistema? (ovviamente non sarà più una combinazione lineare dato che le incognite avranno ordine diverso, però mi chiedo se posso comunque sostituire una equazione con la combinazione di altre -mettendo cioè coefficienti-)
2) il secondo dubbio è questo: se io svolgessi (in un sistema lineare o in uno non lineare) $v^2+r^2=(g(x,y))^2+d(x,y)^2$ e ricavassi x da questa seconda forma e la sostituissi in una delle due varrebbe il risultato? O apporto errori nella soluzione
Grazie
Se io avessi un sistema con 3 incognite e volessi mettere in relazione a due di esse
ad esempio sia il sistema
$v=g(x,y)$
$r=d(x,y)$
e voglio esplicitare in x,y
Seguendo il principio di equivalenza dei sistemi so che posso solamente usare una combinazione lineare della prima equazione con la seconda per semplificarmi la vita sui calcoli.
I due dubbi sono i seguenti:
1) il princpio suddetto vale solo peri sistemi lieari o per qualunque tipo di sistema? (ovviamente non sarà più una combinazione lineare dato che le incognite avranno ordine diverso, però mi chiedo se posso comunque sostituire una equazione con la combinazione di altre -mettendo cioè coefficienti-)
2) il secondo dubbio è questo: se io svolgessi (in un sistema lineare o in uno non lineare) $v^2+r^2=(g(x,y))^2+d(x,y)^2$ e ricavassi x da questa seconda forma e la sostituissi in una delle due varrebbe il risultato? O apporto errori nella soluzione
Grazie
Risposte
Fai un esempio concreto.
P.S.: Il tuo sistema contiene due incognite e due parametri.
P.S.: Il tuo sistema contiene due incognite e due parametri.
Ciao, grazie per la tua risposta.
In effetti non avevo in mente un esempio concreto poiché vorrei proprio capire in forma generale se
1) posso fare una combinazione e sostituire la riga de sistema anche in sistemi non prettamente lineari.
2) se avendo v=g(x,y) ed r=d(x,y) sommando termine a termine la prima e la seconda e quadrandole (omagari farne un logaritmo dipende dai casi) che semplifica le operazioni di esplicitazione di x e y rispettivamente e se poi le sostituissi (le x e y torvate) tornerebbe o introdurrei degli errori.
Cioè intendo dire che il dubbio non nasce da un esercizio ma da un dubbio teorico su fattibilità o meno di tali operazioni.
In effetti non avevo in mente un esempio concreto poiché vorrei proprio capire in forma generale se
1) posso fare una combinazione e sostituire la riga de sistema anche in sistemi non prettamente lineari.
2) se avendo v=g(x,y) ed r=d(x,y) sommando termine a termine la prima e la seconda e quadrandole (omagari farne un logaritmo dipende dai casi) che semplifica le operazioni di esplicitazione di x e y rispettivamente e se poi le sostituissi (le x e y torvate) tornerebbe o introdurrei degli errori.
Cioè intendo dire che il dubbio non nasce da un esercizio ma da un dubbio teorico su fattibilità o meno di tali operazioni.
Elevando al quadrato potresti introdurre ulteriori soluzioni:
$x+y=3$ se la elevi alla seconda diventa $(x+y)^2=9$ che ammette due classi di soluzioni $x+y=3$ ma anche $x+y= -3$
Il logaritmo, invece, è una funzione monotona, perciò non aggiunge soluzioni, come fa, invece, la potenza 2, ma il dominio richiede la positività dell'argomento, quindi se sai per certo che l'argomento è positivo puoi passare al logaritmo, ma se non lo sai potresti perdere delle soluzioni.
I casi sono molti, per questo gugo ti chiedeva degli esempi.
$x+y=3$ se la elevi alla seconda diventa $(x+y)^2=9$ che ammette due classi di soluzioni $x+y=3$ ma anche $x+y= -3$
Il logaritmo, invece, è una funzione monotona, perciò non aggiunge soluzioni, come fa, invece, la potenza 2, ma il dominio richiede la positività dell'argomento, quindi se sai per certo che l'argomento è positivo puoi passare al logaritmo, ma se non lo sai potresti perdere delle soluzioni.
I casi sono molti, per questo gugo ti chiedeva degli esempi.
Grazie, ho afferrato il concetto siete stati molto gentili ad ascoltarmi.
Invece per quanto riguarda il punto 1) ?
Mi piacerebbe districare anche questo nodo
PS: mi sono fatto il seguente esempio, parto dal sistema (non lineare):
$x^2+3y=0$
$2x+3y=0$
ho fatto la combinazione col principio che dicevo in apertura thrread:
$x^2+3y=0$
$2x^2+6y+2x+3y=0$
che in questo caso funziona (cioè salvo errori miei nel calcolo trovo lo stesso risultato), però come ben so non vale come dimostrazione e non posso indurre valga sempre per tutti i tipi di sistemi, per questo chiedo del punto 1)
QUindi il principio di equivalenza dei sistemi lineari (combinare una riga e sommarla con un'altra) posso dire che => vale per sistemi anche non lineari?
Mille grazie
Invece per quanto riguarda il punto 1) ?
Mi piacerebbe districare anche questo nodo
PS: mi sono fatto il seguente esempio, parto dal sistema (non lineare):
$x^2+3y=0$
$2x+3y=0$
ho fatto la combinazione col principio che dicevo in apertura thrread:
$x^2+3y=0$
$2x^2+6y+2x+3y=0$
che in questo caso funziona (cioè salvo errori miei nel calcolo trovo lo stesso risultato), però come ben so non vale come dimostrazione e non posso indurre valga sempre per tutti i tipi di sistemi, per questo chiedo del punto 1)
QUindi il principio di equivalenza dei sistemi lineari (combinare una riga e sommarla con un'altra) posso dire che => vale per sistemi anche non lineari?
Mille grazie
Perché fare tutto questo casino?
Il sistema assegnato lo risolvi o per sostituzione, o per confronto, o per sottrazione, o col metodo grafico... Che sono tutti metodi più sicuri di quello che avevi in mente.
In altre parole, perché usare un cannone per uccidere il classico moscerino?
Il sistema assegnato lo risolvi o per sostituzione, o per confronto, o per sottrazione, o col metodo grafico... Che sono tutti metodi più sicuri di quello che avevi in mente.
In altre parole, perché usare un cannone per uccidere il classico moscerino?
No certo gugo, hai ragionissima ovviamente! E hai fatto benissimo a precisarlo, in realtà quello non era un esercizio ma solo un esempio per far intendere cosa intendessi con la domanda.
Insomma nello studio di quel metodo (utile in altri casi e non tanto in quello dell'esempio) mi era sorto il dubbio se tale proprietà di "combinazione" valesse solo per sistemi lineari, questo perché mi è stato insegnato lì e mi chiedevo se fosse "estendibile" anche a casi di sistemi non lineari. Ben conscio che nell'esempio sia una stupidaggine farlo
Insomma nello studio di quel metodo (utile in altri casi e non tanto in quello dell'esempio) mi era sorto il dubbio se tale proprietà di "combinazione" valesse solo per sistemi lineari, questo perché mi è stato insegnato lì e mi chiedevo se fosse "estendibile" anche a casi di sistemi non lineari. Ben conscio che nell'esempio sia una stupidaggine farlo
Vediamo allora...
Qui:
\[
\begin{cases}
x(x^2 + 12 y^2) = 17\\
8y^3 + 6x^2y + 10 = 0
\end{cases}
\]
come te la cavi?
Qui:
\[
\begin{cases}
x(x^2 + 12 y^2) = 17\\
8y^3 + 6x^2y + 10 = 0
\end{cases}
\]
come te la cavi?
Hem piuttosto male nella soluzione 
però euristicamente suppongo che:
\[
\begin{cases}
x(x^2 + 12 y^2) = 17\\
2*x(x^2 + 12 y^2)+8y^3 + 6x^2y + 10 = 34
\end{cases}
\]
dia lo stesso risultato (era questo il dubbio
) cioè se si garantisse la validità
però euristicamente suppongo che:
\[
\begin{cases}
x(x^2 + 12 y^2) = 17\\
2*x(x^2 + 12 y^2)+8y^3 + 6x^2y + 10 = 34
\end{cases}
\]
dia lo stesso risultato (era questo il dubbio
) cioè se si garantisse la validità
Ok, fa schifo e forse non si risolve esplicitamente nemmeno con le cannonate... Ma esplicitando un po' trovi:
\[
\begin{cases} x^3 + 12 xy^2 = 17\\ 8y^3 + 6x^2y = -10 \end{cases}
\]
e sottraendo membro a membro ottieni:
\[
x^3 -6x^2y + 12 xy^2 -8y^3 = 27 \quad \Leftrightarrow \quad (x-2y)^3 = 3^3 \quad \Leftrightarrow \quad x-2y = 3
\]
quindi il sistema è equivalente a:
\[
\begin{cases} x = 2y + 3 \\ x^3 + 12 xy^2 = 17 \end{cases}
\]
oppure a:
\[
\begin{cases} x = 2y + 3 \\ 8y^3 + 6x^2y = -10 \end{cases}
\]
e qui puoi provare per sostituzione (ma non viene nulla di buono, mi sà...).
L'esercizio mi serviva per farti capire che la prima cosa da fare è sempre osservare bene il problema.
\[
\begin{cases} x^3 + 12 xy^2 = 17\\ 8y^3 + 6x^2y = -10 \end{cases}
\]
e sottraendo membro a membro ottieni:
\[
x^3 -6x^2y + 12 xy^2 -8y^3 = 27 \quad \Leftrightarrow \quad (x-2y)^3 = 3^3 \quad \Leftrightarrow \quad x-2y = 3
\]
quindi il sistema è equivalente a:
\[
\begin{cases} x = 2y + 3 \\ x^3 + 12 xy^2 = 17 \end{cases}
\]
oppure a:
\[
\begin{cases} x = 2y + 3 \\ 8y^3 + 6x^2y = -10 \end{cases}
\]
e qui puoi provare per sostituzione (ma non viene nulla di buono, mi sà...).
L'esercizio mi serviva per farti capire che la prima cosa da fare è sempre osservare bene il problema.
Mi sa che devo essermi spiegato male perché ti sto facendo girare attorno al dubbio e ti prego di scusarmi.
Il mio problema era capire semplicemente se sommare termine a termine dopo aver moltiplicato una delle due equazioni del sistema e sostiturie tale equazione risultante con una del sistema (procedimento valido per sistemi lineari), valesse anche in generale per non lineari.
Il mio problema era capire semplicemente se sommare termine a termine dopo aver moltiplicato una delle due equazioni del sistema e sostiturie tale equazione risultante con una del sistema (procedimento valido per sistemi lineari), valesse anche in generale per non lineari.
Moltiplicare per una costante, sommare e sostituire sì, è ovvio.
Moltiplicare per qualcosa che non è costante, sommare e sostituire no, in generale.
Moltiplicare per qualcosa che non è costante, sommare e sostituire no, in generale.
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