Sistema di equazioni con parametri
Salve mi servirebbe un aiuto per la risoluzione del seguente esercizio: Per quali valori di a e di b il sistema $2ax-by=3+a$
$5x+2y=2 $
è indeterminato? Per quali impossibile?
Sono riuscito a determinare solo una delle soluzioni ponendo $2/5a=-b/2 $→$a=-5/4b $. Come si trovano le altre?
$5x+2y=2 $
è indeterminato? Per quali impossibile?
Sono riuscito a determinare solo una delle soluzioni ponendo $2/5a=-b/2 $→$a=-5/4b $. Come si trovano le altre?
Risposte
il sistema è indeterminato se il rango della matrice incompleta e quello della matrice completa sono entrambi uguali ad 1
il sistema è impossibile se il rango della matrice incompleta è uguale ad 1 e quello della matrice completa è uguale a 2
il sistema è impossibile se il rango della matrice incompleta è uguale ad 1 e quello della matrice completa è uguale a 2
ciao ragazzi!!
Se possibile non parlerei di "rango" che è correttissimo ma ho l'impressione che newarrior stia facendo qualcosa tipo il secondo anno delle superiori e valuti sistemi di 2 equazioni e 2 incognite.
Quindi propongo soluzione alternativa a Quantunquemente che saluto
Il sistema generico
${(ax+by=c),(a'x+b'y=c'):}$
è determinato (una coppia di soluzioni) se
$a/(a')!=b/(b')$
indeterminato (infinite soluzioni possibili) se
$a/(a')=b/(b')=c/(c')$
e impossibile (nessuna soluzione) se
$a/(a')=b/(b')!=c/(c')$
allora nel nostro caso è indeterminato se
${(2/5 a=-b/2),(2/5 a= (3+a)/2):}$
dalla seconda ricavi $a=-15$ che sostituito nella prima fornisce $b=12$ sempre che non abbia sbagliato calcoli...
Se possibile non parlerei di "rango" che è correttissimo ma ho l'impressione che newarrior stia facendo qualcosa tipo il secondo anno delle superiori e valuti sistemi di 2 equazioni e 2 incognite.
Quindi propongo soluzione alternativa a Quantunquemente che saluto
Il sistema generico
${(ax+by=c),(a'x+b'y=c'):}$
è determinato (una coppia di soluzioni) se
$a/(a')!=b/(b')$
indeterminato (infinite soluzioni possibili) se
$a/(a')=b/(b')=c/(c')$
e impossibile (nessuna soluzione) se
$a/(a')=b/(b')!=c/(c')$
allora nel nostro caso è indeterminato se
${(2/5 a=-b/2),(2/5 a= (3+a)/2):}$
dalla seconda ricavi $a=-15$ che sostituito nella prima fornisce $b=12$ sempre che non abbia sbagliato calcoli...
Se $a= -5/4b$ il sistema NON è determinato, in tal caso il fatto che sia indeterminato o impossibile dipende dal rapporto dei termini noti, perciò può essere
indeterminato se $2/5a=(3+a)/2$ o
impossibile se $2/5a !=(3+a)/2$
Risolvendo l'equazione $2/5a=(3+a)/2$ ottieni $a= -15$ poi sostituisci in $a= -5/4b$ e trovi $b=12$, allora
con $a= -15$ e $b=12$ il sistema è indeterminato
con $a != -15$ ma $b= -4/5a$ il sistema è impossibile.
PS
se hai imparato anche a risolvere i sistemi con le matrici, ovviamente, la via indicata da quantunquemente è la più breve.
mazzarri mi ha bruciato sul tempo, ma lascio anche la mia risposta.
indeterminato se $2/5a=(3+a)/2$ o
impossibile se $2/5a !=(3+a)/2$
Risolvendo l'equazione $2/5a=(3+a)/2$ ottieni $a= -15$ poi sostituisci in $a= -5/4b$ e trovi $b=12$, allora
con $a= -15$ e $b=12$ il sistema è indeterminato
con $a != -15$ ma $b= -4/5a$ il sistema è impossibile.
PS
se hai imparato anche a risolvere i sistemi con le matrici, ovviamente, la via indicata da quantunquemente è la più breve.
mazzarri mi ha bruciato sul tempo, ma lascio anche la mia risposta.
accolgo l'obiezione giustissima di mazzarri,che saluto ;la mia soluzione va bene per gli studenti degli istituti tecnici del triennio finale, che affrontano questo tipo di problema con la teoria delle matrici
Grazie a tutti per l'aiuto. Mi scuso per non aver specificato che si trattava di un esercizio del biennio
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