Sistema di equazioni con esponenziali e logartimi

[nick_1992]

ciao a tutti devo risolvere questo sistema di equazioni ma nn ci riesco:

$\{(2y * x^{2y-1} + 2x = 0),(x^{2y} * 2 * ln (x) - 2 = 0):}$

dalla prima ho provato a raccogliere 2x : $2x*[y * (x^{2y-2}) + 1]= 0$ e ho posto $2x=0$ e $y * (x^{2y-2}) + 1=0$

quindi da $2x= 0$ ho trovato $x=0$ e ho provato a sostituirlo sulla seconda equazione ma nn era accettabile visto ke il $ln (0)$ nn esiste... invece da $y * [x^{2y-2}] + 1=0$ nn sn riuscito a ricavare niente...

ho provato a isolare la $x$ o la $y$ in qualche modo per poi provarla a sostituire in una delle 2 equazioni ma nn ci riesco..

vi prego datemi una mano.... grazie...

[giammaria2]

Sei sicuro del testo? Mi sembrano strani tutti quei 2 semplificabili. Inoltre con qualche passaggio arrivo a
$2(x ln x)^2=ln(ln x)$
che ho provato a risolvere graficamente, concludendo che non ci sono soluzioni reali. Sai le soluzioni?

[Sk_Anonymous]

"nick_1992":ciao a tutti devo risolvere questo sistema di equazioni ma nn ci riesco:

$\{(2y * x^{2y-1} + 2x = 0),(x^{2y} * 2 * ln (x) - 2 = 0):}$

dalla prima ho provato a raccogliere 2x : $2x*[y * (x^{2y-2}) + 1]= 0$ e ho posto $2x=0$ e $y * (x^{2y-2}) + 1=0$

quindi da $2x= 0$ ho trovato $x=0$ e ho provato a sostituirlo sulla seconda equazione ma nn era accettabile visto ke il $ln (0)$ nn esiste... invece da $y * [x^{2y-2}] + 1=0$ nn sn riuscito a ricavare niente...

ho provato a isolare la $x$ o la $y$ in qualche modo per poi provarla a sostituire in una delle 2 equazioni ma nn ci riesco..

vi prego datemi una mano.... grazie...

Intanto , puoi eliminare il coefficiente $2$ sia dalla prima che dalla seconda equazione :

$\{(y * x^{2y-1} + x = 0),(x^{2y} * ln (x) - 1 = 0):}$

poi , potresti isolare il termine con l'esponenziale , sia nella prima che nella seconda :

$\{(y * x^{2y-1} = - x ),(x^{2y} * ln (x) = 1):}$

poi potresti dividere membro a membro ( devi supporre anche $ x \ne 1 $ oltre a $x\ne 0 $ ) , e ti trovi , dopo alcuni passaggi :

$y = -x^2*lnx$

Poi, dalla seconda equazione : $x^{2y} * ln (x) = 1$

arrivo anch'io , prendendo il $ln$ di entrambi i membri , e uguagliando le espressioni di $y$ , al risultato di Giammaria :

$ ln(lnx ) = 2*(x*lnx)^2 $

e naturalmente mi blocco ,come lui , e ti faccio la stessa domanda : sei sicuro di aver scritto bene ?

[giannirecanati]

Una soluzione dell'equazione \(\displaystyle {\ln{{\left({\ln{{x}}}\right)}}}={2}\cdot{{\left({x}\cdot{\ln{{x}}}\right)}}^{{2}} \) è \(\displaystyle x=1 \), che però non è soluzione del sistema, l' altra soluzione si ottiene risolvendo \(\displaystyle x^2\cdot \ln(x)=\frac{1}{2} \).

[giammaria2]

No, giannirecanati: c'è un logaritmo in più. $x=1$ annulla il secondo membro ma a primo membro si ottiene $ln(ln1)=ln0$ che non esiste.

[giannirecanati]

Sì, Giammaria hai ragione.