Sistema di equazioni a due variabili...

[kioccolatino90]

Ciao a tutti, ho un sistema di equazioni a due variabili: ${(cosx sin(2y)=0),(2sinxcos(2y)=0):}$ che equivale a risolvere ${(cosx=0 uu sin(2y)=0),(2sinx=0 uu cos(2y)=0):}$;

io ho cercato di risolverso in questo modo:

${(cosx=0),(sin(2y)=0):}$$uu$${(2sinx=0),( cos(2y)=0):}$

però poi mi sono fermato perchè il libro dice che per risolvere quel sistema ci vogliono non un unione di due sistemi ma quattro, difatti scrive che la soluzione è data dalla soluzione dei sistemi:

${(cosx=0),(sinx=0):}$$uu$${(cosx=0),( cos(2y)=0):}$$uu$${(sin(2y)=0),(sinx=0):}$$uu$${(sin(2y)=0),( cos(2y)=0):}$ perchè fa in questo modo???

[giammaria2]

Deve annullarsi uno qualsiasi dei fattori del primo prodotto e uno qualsiasi di quelli del secondo; con la tua soluzione chiedi invece che si annullino entrambi i fattori di uno o dell'altro prodotto. E' giusta quindi la soluzione del libro, che chiede l'annullamento di [(primo del primo) e (primo del secondo)] oppure [(primo del primo) e (secondo del secondo)] eccetera.
Il primo e l'ultimo sistema non hanno soluzione perché seno e coseno non si possono annullare contemporaneamente; io non li avrei nemmeno scritti.
Se non ti è chiaro, vedila così: può essere
- I caso) $cos x=0$. Allora, essendo $sin x!=0$, ho il sistema ${(cos x=0),(cos 2y=0):}$

- II caso) $sin 2y=0$. Allora, essendo $cos2y!=0$, ho il sistema ${(sin2y=0),(sinx=0):}$
e poi unisci i due casi.

[kioccolatino90]

giusto, ho capito... ho anche un altro sistema, sempre di funzioni a due variabili però non lo capisco, allora l'esercizio è:

${(4x^3-4x+4y=0),(4y^3-4y+4x=0):}$ ora addiziono le due equazioni: ${(4x^3+4y^3=0),(4x^3-4x+4y=0):}$ $rarr$ ${((x+y)(x^2-xy+y^2)=0),(4x^3-4x+4y=0):}$ quindi deve essere:

${(x+y=0),(4y^3-4x+4y=0):}$ $uu$ ${(x^2-xy+y^2=0),(4y^3-4x+4y=0):}$ però non mi trovo perchè il libro dal terzo sistema si ricava:

${(x+y=0),(4x(x^2-2)=0):}$ e poi dopo spezza in due sistemi....ma come ha fatto a trovasi così???

[giammaria2]

Nella riga in cui metti il segno di unione hai sbagliato nel copiare la seconda equazione, che era $4x^3-4x+4y=0$. Con questa correzione si ha
${(x+y=0),(4x^3-4x+4y=0):}=>{(y=-x),(4x^3-4x-4x=0):}=>{(y=-x),(4x(x^2-2)=0):}$

Ho qualche perplessità:
- Cosa ci fanno tutti quei 4? Perché non li semplifica subito?
- Ammesso di lavorare in campo reale, da $4x^3+4y^3=0$ si ricava subito $y^3=-x^3=>y=-x$; perché complicare le cose? O forse siamo in campo complesso?
- Quando parli di terzo sistema ti riferisci a quello di cui ti ho indicato la soluzione o ad altro?

[kioccolatino90]

ah si giusto, ora ho capito dove sbagliavo!!!!
rispondo alle tue domande: per la prima domanda ci ho pensato anche io, però il motivo di cui non li semplifica subito non c'è scritto, non saprei proprio dare una spiegazione... per quanto riguarda la seconda tua domanda, siamo in campo reale...
quando parlo di terzo sistema mi riferisco a questo:

${((x+y)(x^2-xy+y^2)=0),(4x^3-4x+4y):}$ scusami se non mi sono fatto capire....

a tale proposito visto che ci siamo volevo chiederti:

da quest'ultimo sistema, il libro passa direttamente al sistema: ${(y=-x),(4x(x^2-2)=0):}$ cioè scrive:

${((x+y)(x^2-xy+y^2)=0),(4x^3-4x+4y):}$ $rArr$ ${(y=-x),(4x(x^2-2)=0):}$

però mi chiedo che fine fa il trinomio $(x^2-xy+y^2)$???

[giammaria2]

Lo trascura perché non ha soluzioni reali; faceva più in fretta a risolvere la prima equazione col metodo che ti ho indicato io.

[kioccolatino90]

ma $x^2-xy+y^2$ non è uguale a zero per $x=0, y=0$???

[giammaria2]

Hai tutte le ragioni; trascuravo questa soluzione perché già compresa nella $y=-x$.

[kioccolatino90]

ok ho capito!!! adesso è tutto chiaro, diciamo che alla fine non ha fatto altro che l'unione di tutte le soluzioni e vedendo che già nella prima c'era la soluzione $(0,0)$ allora l'ha omesso... grazie mille!!!!