Sistema di equazioni

[Bad90]

Oggi ho iniziato con i sistemi a tre equazioni:

$ { ( x+y-z=-2 ),( x-y+z=6 ),( x^2+y^2=z ):} $

Non sto riuscendo a risolverla, ma penso sia giusto cominciare a risolvere la prima e ricavo la x, quest la sostituisco nella seconda, poi dalla seconda ricavo la z e la sostituisco nella terza! Detto questo vi dico che non ci sto riuscendo a risolverla!

Provo a risolverla....

$ { ( x=z-2-y ),( x-y+z=6 ),( x^2+y^2=z ):} $

$ { ( x=z-2-y ),( z-2-y-y+z=6 ),( x^2+y^2=z ):} $

$ { ( x=z-2-y ),(2z-2y=8 ),( x^2+y^2=z ):} $

$ { ( x=z-2-y ),(z=(8+2y)/2 ),( x^2+y^2=z ):} $

$ { ( x=((8+2y)/2)-2-y ),(z=(8+2y)/2 ),( x^2+y^2=z ):} $

$ { ( x=(2(4+y)/2)-2-y ),(z=(8+2y)/2 ),( x^2+y^2=z ):} $

$ { ( x=(4+y)-2-y ),(z=(8+2y)/2 ),( x^2+y^2=z ):} $

$ { ( x=2 ),(z=(8+2y)/2 ),( x^2+y^2=z ):} $

$ { ( x=2 ),(z=4+2y),( x^2+y^2=z ):} $

$ { ( x=2 ),(z=4+2y),( 4+y^2=4+2y ):} $

$ { ( x=2 ),(z=4+2y),( y^2=2y ):} $

$ { ( x=2 ),(z=4+2y),( y=4y^2 ):} $

$ { ( x=2 ),(z=4+2*(4y^2)),( y=4y^2 ):} $

$ { ( x=2 ),(z=4+8y^2),( y=4y^2 ):} $

$ { ( x=2 ),(8y^2-z+4=0),( y=4y^2 ):} $

Adesso mi sono perso!

[giammaria2]

Ti sei perso perché non hai seguito un filo logico: quando si ricava un'incognita la si sostituisce in tutte le equazioni non ancora considerate. La tua scelta di iniziare ricavando $x$ non era furba perché ti costringeva ad elevare a quadrato un trinomio; se proprio si vuole procedere per sostituzione era meglio ricavare $z$. Il metodo migliore era però fare somma e sottrazione delle prime due equazioni e il sistema diventava
${(2x=4),(2y-2z=-8),(x^2+y^2=z):}$
che risolvi facilmente.
Non ho controllato i tuoi calcoli perché troppo lunghi ma in qualche punto c'è un errore perché io ottengo l'equazione $y^2=y$, senza il fattore 4.

[Bad90]

Sono all'inizio con questi sistemi, infatti faccio confusione. Adesso rifaccio il tutto. Grazoe mille.

[chiaraotta1]

"Bad90":Oggi ho iniziato con i sistemi a tre equazioni:

$ { ( x+y-z=-2 ),( x-y+z=6 ),( x^2+y^2=z ):} $

Non sto riuscendo a risolverla, ma penso sia giusto cominciare a risolvere la prima e ricavo la x, quest la sostituisco nella seconda, poi dalla seconda ricavo la z e la sostituisco nella terza! Detto questo vi dico che non ci sto riuscendo a risolverla!

Provo a risolverla....

$ { ( x=z-2-y ),( x-y+z=6 ),( x^2+y^2=z ):} $

$ { ( x=z-2-y ),( z-2-y-y+z=6 ),( x^2+y^2=z ):} $

$ { ( x=z-2-y ),(2z-2y=8 ),( x^2+y^2=z ):} $

$ { ( x=z-2-y ),(z=(8+2y)/2 ),( x^2+y^2=z ):} $

$ { ( x=z-2-y ),(z=4+y),( x^2+y^2=z ):} $

$ { ( x=4+y-2-y ),(z=4+y),( x^2+y^2=z ):} $

$ { ( x=2),(z=4+y),(4+y^2=4+y ):} $

$ { ( x=2),(z=4+y),(y^2-y=0 ):} $

$ { ( x=2),(z=4+y),(y(y-1)=0 ):} $.

Da $y(y-1)=0$ si ha $y_1=0, y_2=1$, da cui $z_1=4, z_2=5$.
Quindi le soluzioni sono
${(x=2), (y=0), (z=4):}$, ${(x=2), (y=1), (z=5):}$.

[Bad90]

Grazie chiarotta, ho fatto l'errore con la $ y $ ! Ti ringrazio veramente un sacco!

[Bad90]

Adesso cerco di rifarmi con questa:

$ { ( 2x+y-3z=1 ),( x+y+z=6 ),( x^2+y^2+z^2=14 ):} $

Scrivero solo i passaggi più importanti.....

$ { ( x=4z-5 ),( y=11-5z ),( x^2+y^2+z^2=14 ):} $

$ { ( x=4z-5 ),( y=11-5z ),( (4z-5)^2+(11-5z)^2+z^2=14 ):} $

$ { ( x=4z-5 ),( y=11-5z ),( 42z^2-150z+132=0 ):} $

Utilizzo la terza equazione per ricavare $ z_1;z_2 $

Segue $ z_1=2;z_2=11/7 $ che sono le prime due soluzioni.

Segue $ x_1=3;x_2=9/7 $ che sono le seconde due soluzioni.

segue $ y_1=1;y_2=22/7 $ che sono le terze due soluzioni.



Cosa ne dite? Ciao amici!

[Bad90]

Non sto ricordando perche' di un concetto............:
Il mio testo dice che $ (x-1)=0 $ ha le stesse soluzioni di $ (x-1)^2=0 $ !

Ma scusate, la seconda non ha soluzioni $ x=+-1 $ mentre la prima ha solo la soluzione $ x=+1 $ ???????

[giogiomogio]

potresti utilizzare Gauss

[Bad90]

"giogiomogio":potresti utilizzare Gauss

Cioe'?
Tu come lo utilizzeresti????

[ascheriit]

wiki

Oppure è spiegato bene al primo capitolo di questo libro.


Se non ti è chiaro chiedi pure
Solitamente questo algoritmo non è insegnato a scuola ma permette di risolvere comodamente anche sistema piuttosto grossi e/o rettangolari

[minomic]

Per quanto riguarda l'altra domanda ti confondi con $$x^2 = 1$$ che ha effettivamente come soluzioni $x=+- 1$.
Invece un quadrato è nullo quando lo è il suo argomento, quindi $$
(x-1)^2 = 0 \quad\Rightarrow\quad x-1=0 \quad\Rightarrow\quad x = 1.
$$

[ascheriit]

Anche perchè se sostituisci $-1$ in $(x-1)^2=0$ diventa $(-2)^2=0$ ovvero $4=0$ che è ovviamente sbagliato.
Quindi hanno le stesse soluzioni, però in $(x-1)^2=0$ la soluzione ha valenza doppia (o è una soluzione ripetuta, o come le chiama il tuo libro, quando la disegni su un piano cartesiano è importante)

[minomic]

Esatto, io le chiamerei "soluzioni con molteplicità 2/3/4/..." ma il concetto è quello.
Faccio notare a Bad90 che quanto stiamo dicendo è perfettamente in linea con il [url=http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_fondamentale_dell'algebra]Teorema fondamentale dell'algebra[/url], il quale afferma che un polinomio di grado $n$ ammette precisamente $n$ radici (o soluzioni) contate con le loro molteplicità.

[giogiomogio]

"Bad90":
Cioe'?
Tu come lo utilizzeresti????

Il fatto è che non so se lo avete studiato o meno....
perche Gauss in questo caso ti accellera i calcoli in modo pauroso.
Ma non so se il tuo e' un esercizio che parte dalla soluzione del sistema o se a quel sistema ci sei arrivato dopo determinati ragionamenti.
Quindi non conosco lo scopo del tuo esercizio.
Gauss si utilizza con le matrici, le avete gia viste?

[ascheriit]

"giogiomogio":[quote="Bad90"]
Cioe'?
Tu come lo utilizzeresti????

Il fatto è che non so se lo avete studiato o meno....
perche Gauss in questo caso ti accellera i calcoli in modo pauroso.
Ma non so se il tuo e' un esercizio che parte dalla soluzione del sistema o se a quel sistema ci sei arrivato dopo determinati ragionamenti.
Quindi non conosco lo scopo del tuo esercizio.
Gauss si utilizza con le matrici, le avete gia viste?[/quote]

Dubito che abbiano fatto le matrici, anche perche' che io sappia alle superiori oltre a qualcosina sui determinanti non si fa nulla e i sistemi li fanno risolvere con metodi alquanto scomodi (o almeno cosi' facciamo nella mia scuola che e' uno scientifico...)
Cio' non toglio che il metodo di Gauss per i sistemi sia facilmente alla portata di uno studente delle superiori, anche perche' le matrici sono usate piu' come un modo comodo di scrivere il sistema che per le loro proprieta' quindi non serve nemmeno aver studiato un gran che su di esse.
In ogni caso il libro che ho linkato qualche post fa, pur essendo in inglese, nel primo capitolo spiega bene caratteristiche basilari di una matrice e Gauss, anche il secondo/terzo capitolo sono alla portata di uno studente delle superiori interessato alle matrici

[giogiomogio]

@ascheriit
Che sia semplice da utilizzare che non c'è la necessita di conoscere le varie proprietà delle matrici ti posso dare ragione. Ma di solito quando viene insegnato "qualcosa di nuovo" bisognerebbe anche dimostrare perchè funziona (che puo essere un attimino piu complesso). Infatti bisogna stare attenti con il pivot, scambi di righe ect.
Se comunque il ragazzo non ha ancora affrontato l'argomento, credo che lo scopo dell'esercizio è un allenamento di calcolo e di sostituzione.

[minomic]

Sospetto anche io che il metodo di Gauss non sia da utilizzare, anche perchè se non si è fatto il teorema di Rouchè-Capelli ha poco senso...

[Bad90]

Ma se devo trovare i punti di intersezioni delle seguenti parabole $y=x^2$ e $y^2=x$, come devo fare?
Mi starò perdendo in un bicchier d'acqua, ma io sto facendo così:
$ { ( y=x^2 ),( y^2=x ):} $
$ { ( y=x^2 ),( y=sqrtx ):} $
$ { ( y=x^2 ),( x^2 =sqrtx ):} $
$ { ( y=x^2 ),( x = x ):} $
Ma poi mi viene fuori che:
$ { ( y=x^2 ),( x -x = 0 ):} $
E quindi $ { ( y=0 ),( 0 = 0 ):} $
E' corretto?
Quindi il primo punto è $A=(0,0)$
Ma adesso come faccio a verificare l'altro punto di intersezione?

[giammaria2]

Ricorri al più semplice fra tutti i metodi: ricavi $y$ dalla prima equazione e lo sostituisci nella seconda. Ottieni
${(y=x^2),(x^4=x):}$
La seconda equazione si risolve con
$x^4-x=0->x(x^3-1)=0$
e, per la legge di annullamento del prodotto, ha come soluzioni $x=0$ e $x^3=1->x=1$
Ricavi ora $y$ ed hai come intersezioni i punti $(0,0);(1,1)$

[Bad90]

Ti ringrazio!

[matdom]

ehmmm scusate se immodestamente mi intrometto , ma forse è meglio rischiare di sembrare puntigliosi, e ricordare che se $ x^4-x=0 $ , allora avremo non 2 , ma 4 soluzioni:
$ x_1=0; x_2=1; x_3=(-1+isqrt(3))/2; x_4=(-1-isqrt(3))/2$