Sistema di equazioni 3 incognite calcolo letterale
Ciao a tutti sono nuova quindi perdonatemi se sbaglio postando.
Ho bisogno di aiuto per la risoluzione di un sistema a 3 equazioni e 3 incognite.
Ho provato a risolverlo in diversi modi, ma i calcoli diventano lunghissimi e le equazioni insemplificabili anche scomponendo in fattori o con i prodotti notevoli, spero possiate aiutarmi, il sistema è questo:
$ \{ (ax+by=2z), ((x-y)/(a-b)+z/(ab)=0), (az+ax=a+1) :}$
I risultati che mi da il libro sono $\{ (z=1), (y=1/b), (x=1/a) :}$
Vi mostro un po' come ho proceduto saltando i passaggi con le semplificazioni:
$ \{ (y=(2z-ax)/(b)), (z=(ab(x-y))/(a-b)), (x=-(az-a-1)/a) :}$
Sostituisco la x alle altre due e ottengo dopo i passaggi di moltiplicazione e semplificazioni:
$ \{ (y=(2z+az-a-1)/(b)), (z=(-abz-ab-b-aby)/(a-b)), (x=-(az-a-1)/(a)) :}$
A questo punto lavoro sulla equazione z facendo m.c.m. e portando i termini con l'incognita z al I membro:
$ \{ (y=(z(2+a)-a-1)/b), (z=(-ab-b-aby)/(b(a-1)+a)), (x=-(az-a-1)/(a)) :}$
Adesso inizia il marasma con la sostituzione della z alle altre due equazioni! Ottengo:
$ \{ (y=((-ab(1+y)-b)/(b(a-1)+a))(2+a)-a-1)/b), (z=(-ab-b-aby)/(b(a-1)+a)), (x=-(((a)(-ab(1+y)-b))/(b(a-1)+a)-a-1)/a) :}$
Ovviamente seguono calcoli esagerati!
Purtroppo l'ultimo sistema non l'ha incolonnato non so perchè!
Grazie in anticipo a chiunque mi dia qualche consiglio, accorgimento, mi segnali errori o mi mostri passaggi!
Ho bisogno di aiuto per la risoluzione di un sistema a 3 equazioni e 3 incognite.
Ho provato a risolverlo in diversi modi, ma i calcoli diventano lunghissimi e le equazioni insemplificabili anche scomponendo in fattori o con i prodotti notevoli, spero possiate aiutarmi, il sistema è questo:
$ \{ (ax+by=2z), ((x-y)/(a-b)+z/(ab)=0), (az+ax=a+1) :}$
I risultati che mi da il libro sono $\{ (z=1), (y=1/b), (x=1/a) :}$
Vi mostro un po' come ho proceduto saltando i passaggi con le semplificazioni:
$ \{ (y=(2z-ax)/(b)), (z=(ab(x-y))/(a-b)), (x=-(az-a-1)/a) :}$
Sostituisco la x alle altre due e ottengo dopo i passaggi di moltiplicazione e semplificazioni:
$ \{ (y=(2z+az-a-1)/(b)), (z=(-abz-ab-b-aby)/(a-b)), (x=-(az-a-1)/(a)) :}$
A questo punto lavoro sulla equazione z facendo m.c.m. e portando i termini con l'incognita z al I membro:
$ \{ (y=(z(2+a)-a-1)/b), (z=(-ab-b-aby)/(b(a-1)+a)), (x=-(az-a-1)/(a)) :}$
Adesso inizia il marasma con la sostituzione della z alle altre due equazioni! Ottengo:
$ \{ (y=((-ab(1+y)-b)/(b(a-1)+a))(2+a)-a-1)/b), (z=(-ab-b-aby)/(b(a-1)+a)), (x=-(((a)(-ab(1+y)-b))/(b(a-1)+a)-a-1)/a) :}$
Ovviamente seguono calcoli esagerati!
Purtroppo l'ultimo sistema non l'ha incolonnato non so perchè!
Grazie in anticipo a chiunque mi dia qualche consiglio, accorgimento, mi segnali errori o mi mostri passaggi!
Risposte
"Pattychiari":
Ho provato a risolverlo in diversi modi, ma i calcoli diventano lunghissimi e le equazioni insemplificabili anche scomponendo in fattori o con i prodotti notevoli, spero possiate aiutarmi, il sistema è questo:
$ \{ (ax+by=2z), ((x-y)/(a-b)+z/(ab)=0), (az+ax=a+1) :}$
In questi casi una delle poche vie praticabili è la regola di Cramer o il metodo di Cramer che dir si voglia: io l'ho fatto in quarto superiore, ma sento di gente che lo fa anche prima.
Se si va per sostituzioni viene solo il mal di testa...
"Pattychiari":
$ \{ (y=((-ab(1+y)-b)/(b(a-1)+a))(2+a)-a-1)/b), (z=(-ab-b-aby)/(b(a-1)+a)), (x=-(((a)(-ab(1+y)-b))/(b(a-1)+a)-a-1)/a) :} $
Ovviamente seguono calcoli esagerati!
Purtroppo l'ultimo sistema non l'ha incolonnato non so perchè!
Manca una parentesi: ma non preoccuparti, provo ad aggiungerne una io, vedi se ti ritrovi!
$ \{ (y=(((-ab(1+y)-b)/(b(a-1)+a))(2+a)-a-1)/b), (z=(-ab-b-aby)/(b(a-1)+a)), (x=-(((a)(-ab(1+y)-b))/(b(a-1)+a)-a-1)/a) :} $
Intanto vedo con calma gli altri calcoli perché se non conosci la regola di Cramer... non è per oggi a risolvere un sistema del genere
(scherzo, ma neanche tanto!)
...
Comunque dato che è il tuo primo messaggio ti do il benvenuto al forum e personalmente mi complimento per la destrezza che hai con le formule nonostante questo sia il tuo primo post.
Da quello che dici, il tuo libro dà solo la soluzione senza la discussione; mi adeguo, supponendo che $a,b$ siano tali da permettere ogni semplificazione. Il tuo sistema, scritto nel modo abituale, diventa
${(ax+by-2z=0),(abx-aby+z(a-b)=0),(ax+az=a+1):}$
Moltiplicando la prima per $a$ e sommandola alla seconda ottieni di eliminare $y$ nonché una bella semplificazione. Metti a sistema l'equazione così ottenuta con la terza equazione e ti è facile ricavare $x,z$; sostituendo questi valori nella prima equazione ricavi $y$.
${(ax+by-2z=0),(abx-aby+z(a-b)=0),(ax+az=a+1):}$
Moltiplicando la prima per $a$ e sommandola alla seconda ottieni di eliminare $y$ nonché una bella semplificazione. Metti a sistema l'equazione così ottenuta con la terza equazione e ti è facile ricavare $x,z$; sostituendo questi valori nella prima equazione ricavi $y$.
"giammaria":
Moltiplicando la prima per $a$ e sommandola alla seconda ottieni di eliminare $y$ nonché una bella semplificazione. Metti a sistema l'equazione così ottenuta con la terza equazione e ti è facile ricavare $x,z$; sostituendo questi valori nella prima equazione ricavi $y$.
Io avrò anche occhio per i sistemi, ma evidentemente sei molto più allenato di me!
Non mi era venuto in mente di moltiplicare per $a$ per poi sommare la prima alla seconda. Specifico solo - se serve - che moltiplicare per $a$ è lecito in quanto si suppone $a\ne 0$ per l'esistenza della seconda equazione.
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