Sistema di disequazioni esponenziali (una fratta)
Ciao a tutti ecco un sistema di disequazioni esponenziali che mi crea qualche problema con un mio tentativo di risoluzione:
$ { ([(2/5)^x - (4/25)^(-1)]/[4^(x + 1) - 33·2^x + 8] ≥ 0 ) ,( 8·3^x + 9 ≥ 9^x) :}
Allora, per prima cosa noto che la prima disequazione è fratta perciò semplifico il sistema in :
$ { ((2/5)^x - (4/25)^(-1) >= 0 ),(4^(x + 1) - 33·2^x + 8 ≠0) ,( 8·3^x + 9 ≥ 9^x) :}
Poichè non pongo il denominatore della prima disequazione maggiore di zero, ma semplicemente diverso da zero salto la "regola dei segni" tipica delle disequazioni fratte ,così proseguo alla risoluzione del sistema:
$ { ((2/5)^x >= (2/5)^(-2) ),(2^(2x + 2) - 33·2^x + 8 ≠0 [[2^x=t]]) ,( 8·3^x + 9 ≥ 3^(2x)[[3^x=k]]) :}$ ${ (x<= -2 ),( 4t^2-33t+8≠0 ) ,( k^2-8k-9 <=0) :} { (x<= -2 ),({(t1≠1/4), (t2≠8):}) ,( {(k1=-1) ,(k2=9):}) :} { (x<= -2 ),({(2^x≠2^(-2)), (2^x≠2^3):}) ,( -1<=k<=3^2 ) :} { (x<= -2 ),({(x≠-2), (x≠3):}) ,({(3^x>=-1),(3^x<=3^2):} ) :} { (x<= -2 ),({(x≠-2), (x≠3):}) ,({( AA x in RR ),(x<=2):} ) :}
Questo è il grafico delle soluzioni :
Dal grafico risulta come unica soluzione $ x<-2 $ , mentre il libro dà come soluzioni $x<=2$ $ ^^$ $ x ≠-2 $
Potete aiutarmi magari indicando il passaggio in cui ho errato ?
Grazie mille
$ { ([(2/5)^x - (4/25)^(-1)]/[4^(x + 1) - 33·2^x + 8] ≥ 0 ) ,( 8·3^x + 9 ≥ 9^x) :}
Allora, per prima cosa noto che la prima disequazione è fratta perciò semplifico il sistema in :
$ { ((2/5)^x - (4/25)^(-1) >= 0 ),(4^(x + 1) - 33·2^x + 8 ≠0) ,( 8·3^x + 9 ≥ 9^x) :}
Poichè non pongo il denominatore della prima disequazione maggiore di zero, ma semplicemente diverso da zero salto la "regola dei segni" tipica delle disequazioni fratte ,così proseguo alla risoluzione del sistema:
$ { ((2/5)^x >= (2/5)^(-2) ),(2^(2x + 2) - 33·2^x + 8 ≠0 [[2^x=t]]) ,( 8·3^x + 9 ≥ 3^(2x)[[3^x=k]]) :}$ ${ (x<= -2 ),( 4t^2-33t+8≠0 ) ,( k^2-8k-9 <=0) :} { (x<= -2 ),({(t1≠1/4), (t2≠8):}) ,( {(k1=-1) ,(k2=9):}) :} { (x<= -2 ),({(2^x≠2^(-2)), (2^x≠2^3):}) ,( -1<=k<=3^2 ) :} { (x<= -2 ),({(x≠-2), (x≠3):}) ,({(3^x>=-1),(3^x<=3^2):} ) :} { (x<= -2 ),({(x≠-2), (x≠3):}) ,({( AA x in RR ),(x<=2):} ) :}
Questo è il grafico delle soluzioni :
Dal grafico risulta come unica soluzione $ x<-2 $ , mentre il libro dà come soluzioni $x<=2$ $ ^^$ $ x ≠-2 $
Potete aiutarmi magari indicando il passaggio in cui ho errato ?
Grazie mille
Risposte
E' questo il sistema che volevi scrivere?
$ { ([(2/5)^x - (4/25)^(-1)]/[4^(x + 1) - 33*2^x + 8] >= 0 ) ,( 8*3^x + 9 >= 9^x) :}
Perchè non si capisce molto
Casomai, visto che hai scritto tutto nel post precedente, fai una modifica del codice:
non scrivere · , ma *
e non scrivere ≥ , ma >=
$ { ([(2/5)^x - (4/25)^(-1)]/[4^(x + 1) - 33*2^x + 8] >= 0 ) ,( 8*3^x + 9 >= 9^x) :}
Perchè non si capisce molto
Casomai, visto che hai scritto tutto nel post precedente, fai una modifica del codice:
non scrivere · , ma *
e non scrivere ≥ , ma >=
Non capisco, mi carica perfettamente il codice usato ..... Comunque sì, è quello il sistema .
Boh,allora sono io che non riesco a leggere correttamente....Mah 
C'è un erroraccio all'inizio!!!
Quando hai una disequazione frazionaria, del tipo $(N(x))/(D(x))>=0$, devi usare la regola dei segni.
Ovvero risolvere la disequazione $N(x)>=0$, poi risolvere $D(x)>0$ (N.B.: non $D(x)>=0$) perchè il denominatore non può essere nullo),
infine fare la "tabella coi $+$ e i $-$ usando appunto la regola dei segni per capire qual è la regione che ti interessa. Ok?
Per il resto, mi sembra che i calcoli siano giusti. La seconda disequazione è corretta.
Quando hai una disequazione frazionaria, del tipo $(N(x))/(D(x))>=0$, devi usare la regola dei segni.
Ovvero risolvere la disequazione $N(x)>=0$, poi risolvere $D(x)>0$ (N.B.: non $D(x)>=0$) perchè il denominatore non può essere nullo),
infine fare la "tabella coi $+$ e i $-$ usando appunto la regola dei segni per capire qual è la regione che ti interessa. Ok?
Per il resto, mi sembra che i calcoli siano giusti. La seconda disequazione è corretta.
Bene allora provo:
${ (x<= -2 ),( 4t^2-33t+8>0 ) :} {(x<= -2 ), ({ ( t1=1/4),(t2=8):}):} {(x<= -2 ), ({ ( 2^x<2^-2),(2^x>2^3):}):} {(x<= -2 ), ({ ( x<-2),(x>3):}):}
Grafico regola dei segni:
La soluzione è data per $ x < 3 $
Grafico soluzioni sistema:
L'unica soluzione dunque dovrebbe essere per $ x<=2 $, manca ancora però : $ x ≠-2 $...
p.s. non capisco perchè devo porre il denominatore maggiore di zero , quando in realtà può essere anche minore di zero.... non è sufficiente porre la disuguaglianza del denominatore con lo 0 ?
Screen : Screen Esercizio rifatto
${ (x<= -2 ),( 4t^2-33t+8>0 ) :} {(x<= -2 ), ({ ( t1=1/4),(t2=8):}):} {(x<= -2 ), ({ ( 2^x<2^-2),(2^x>2^3):}):} {(x<= -2 ), ({ ( x<-2),(x>3):}):}
Grafico regola dei segni:
La soluzione è data per $ x < 3 $
Grafico soluzioni sistema:
L'unica soluzione dunque dovrebbe essere per $ x<=2 $, manca ancora però : $ x ≠-2 $...
p.s. non capisco perchè devo porre il denominatore maggiore di zero , quando in realtà può essere anche minore di zero.... non è sufficiente porre la disuguaglianza del denominatore con lo 0 ?
Screen : Screen Esercizio rifatto
"lordb":
Bene allora provo:
${ (x<= -2 ),( 4t^2-33t+8>0 ) :} {(x<= -2 ), ({ ( t1=1/4),(t2=8):}):} {(x<= -2 ), ({ ( 2^x<2^-2),(2^x>2^3):}):} {(x<= -2 ), ({ ( x<-2),(x>3):}):}
Grafico regola dei segni: http://img28.imageshack.us/img28/3231/d ... asegni.jpg
La soluzione è data per $ x < 3 $
Quasi... Devi escludere anche il punto $-2$, perchè nel denominatore è escluso.
Per questo ti verrà escluso anche nella soluzione finale.
"lordb":
p.s. non capisco perchè devo porre il denominatore maggiore di zero , quando in realtà può essere anche minore di zero.... non è sufficiente porre la disuguaglianza del denominatore con lo 0?
Devi capire in quale intervallo il denominatore è positivo. In questo modo puoi impostare la tabella e fare la regola dei segni. Si fa sempre così.
In generale, sia che tu abbia $(N(x))/(D(x))>=0$, sia che tu abbia $(N(x))/(D(x))<=0$, devi fare così:
1) Risolvi $N(x)>=0$
2) Risolvi $D(x)>0$
3) Fai la tabella, esattamente come hai fatto prima.
A questo punto riesci a capire quando tutta la frazione è positiva o negativa.
4)Se hai $(N(x))/(D(x))>=0$, allora la soluzione è la parte positiva;
se invece hai $(N(x))/(D(x))<=0$, allora la soluzione è la parte negativa
Infine, se le disequazioni sono del tipo $(N(x))/(D(x))>0$ o $(N(x))/(D(x))<0$, si fa quasi esattamente come prima. Cambia solo il punto 1) che diventa:
1)Risolvi $N(x)>0$
Chiaro, più o meno?
Il punto del denominatore $-2$ è escluso risolvendo $D(x)≠0$?
No, è escluso risolvendo $D(x)>0$... Lo escludi guardando il grafico.
Ok Grazie mille 
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