Sistema a tre incognite
Ho questo sistema a tre incognite (credo sia di ottavo grado 
), sono impazzita di conti ma non riesco a trovare un modo per isolare una delle tre incognite. Ho sommato e sottratto tutto il possibile, ma non riesco ad arrivare da nessuna parte..
$2y+x-x^2-y^2=0$
$z-x+y-y(x+z)=0$
$-2y+z-y^2-z^2=0$
), sono impazzita di conti ma non riesco a trovare un modo per isolare una delle tre incognite. Ho sommato e sottratto tutto il possibile, ma non riesco ad arrivare da nessuna parte..$2y+x-x^2-y^2=0$
$z-x+y-y(x+z)=0$
$-2y+z-y^2-z^2=0$
Risposte
Più che dirti che mi risulta $y=(x-z)/(1-x-z)$ (che tra l'altro, se sostituisci questo valore alle $y$ ti vengono fuori calcoli astronomici) non riesco a farlo. Più che altro è che ci sono dei calcoli lunghissimi e complicatissimi.
"elios":
$2y+x-x^2-y^2=0$
$z-x+y-y(x+z)=0$
$-2y+z-y^2-z^2=0$
Così, a prima vista direi che se ti ricavi la $z$ dalla seconda e se sostituisci l'espressione nelle altre due equazioni
ti resta un sistema di 2 equazioni in 2 incognite ($x$ e $y$).
Riscriviamo il sistema in questo modo:
(a) ${(2y+x-x^2-y^2=0),(z-x=y(z+x-1)),(-2y+z-y^2-z^2=0):}$
Sottraendo dalla prima equazione la terza abbiamo:
$4y+x-z-x^2+z^2=0$
od anche:
$4y+(z-x)(z+x-1)=0$
e per la seconda equazione delle (a) :
$4y+y(z+x-1)^2=0$
Le soluzioni indipendenti di quest'ultima relazione sono chiaramente :
(1) $y=0$ e (2) $z+x=1+-2j$
Per effetto della soluzione (1) il sistema (a) diventa :
${(x-x^2=0),(z-x=0),(z-z^2=0):}$
e da esso si traggono le soluzioni :
${(x=0,y=0,z=0),(x=1,y=0,z=1):}$
di cui la prima era prevedibile data la forma del sistema.
Secondo me queste sono le uniche soluzioni reali del sistema .Aspetto conferme/smentite.
Passiamo ora a quelle immaginarie.
Sostituendo le (2) nella seconda equazione del sistema (a) risulta:
$z-x=+-2jy$ e quindi si può scrivere quest'altro sistema:
${(z+x=1+-2j),(z-x=+-2jy):}$ che risolto dà come risposta:
${(z=1/2+-j(1+y)),(x=1/2+-j(1-y)):}$ dove i segni vanno presi in modo concorde.
Ora ,sostituendo tali risultati nelle (a) e con un po' di facili calcoli ,si vede che
il sistema non ha soluzioni.
Per esempio sostituendo nella prima delle (a) si ottiene:
$2y+1/2+-j(1-y)-1/4+(1-y)^2+-j(y-1)-y^2=0$
che porta all'eguaglianza assurda $5/4=0$
Si può quindi concludere che le uniche soluzioni restano quelle prima indicate.
E' possibile che sbagli ma non vedo altre strade ,tenuto conto che quella della sostituzione
è impraticabile per i troppi passaggi che vengono fuori.
Fatemi sapere.
Ciao
(a) ${(2y+x-x^2-y^2=0),(z-x=y(z+x-1)),(-2y+z-y^2-z^2=0):}$
Sottraendo dalla prima equazione la terza abbiamo:
$4y+x-z-x^2+z^2=0$
od anche:
$4y+(z-x)(z+x-1)=0$
e per la seconda equazione delle (a) :
$4y+y(z+x-1)^2=0$
Le soluzioni indipendenti di quest'ultima relazione sono chiaramente :
(1) $y=0$ e (2) $z+x=1+-2j$
Per effetto della soluzione (1) il sistema (a) diventa :
${(x-x^2=0),(z-x=0),(z-z^2=0):}$
e da esso si traggono le soluzioni :
${(x=0,y=0,z=0),(x=1,y=0,z=1):}$
di cui la prima era prevedibile data la forma del sistema.
Secondo me queste sono le uniche soluzioni reali del sistema .Aspetto conferme/smentite.
Passiamo ora a quelle immaginarie.
Sostituendo le (2) nella seconda equazione del sistema (a) risulta:
$z-x=+-2jy$ e quindi si può scrivere quest'altro sistema:
${(z+x=1+-2j),(z-x=+-2jy):}$ che risolto dà come risposta:
${(z=1/2+-j(1+y)),(x=1/2+-j(1-y)):}$ dove i segni vanno presi in modo concorde.
Ora ,sostituendo tali risultati nelle (a) e con un po' di facili calcoli ,si vede che
il sistema non ha soluzioni.
Per esempio sostituendo nella prima delle (a) si ottiene:
$2y+1/2+-j(1-y)-1/4+(1-y)^2+-j(y-1)-y^2=0$
che porta all'eguaglianza assurda $5/4=0$
Si può quindi concludere che le uniche soluzioni restano quelle prima indicate.
E' possibile che sbagli ma non vedo altre strade ,tenuto conto che quella della sostituzione
è impraticabile per i troppi passaggi che vengono fuori.
Fatemi sapere.
Ciao
"Manlio":
Le soluzioni indipendenti di quest'ultima relazione sono chiaramente
Ciao Manlio,
mi spiegheresti cosa si intende per "soluzioni indipendendti"?
Grazie
Ho la stessa domanda di Steven, comunque sia ho capito tutti i passaggi... In effetti ad andare avanti a sostituzioni si impazziva con i calcoli..
"Soluzioni indipendenti" vuol dire che ciascuna agisce per conto suo in alternativa all'altra, senza che debbano essere verificate simultaneamente.
Infatti l'equazione $y[4+(z+x-1)^2]=0$ è verificata per $y=0$ oppure per $4+(z+x-1)^2=0$,dove quell' "oppure" sta per " o per l'una o per l'altra " e non necessariamente " per entrambe" .
Spero di essere stato chiaro.
Ciao
Infatti l'equazione $y[4+(z+x-1)^2]=0$ è verificata per $y=0$ oppure per $4+(z+x-1)^2=0$,dove quell' "oppure" sta per " o per l'una o per l'altra " e non necessariamente " per entrambe" .
Spero di essere stato chiaro.
Ciao
Chiarissimo, grazie!
Grazie manlio, è a posto
Ciao.
Ciao.
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