Sistema
Ciao a tutti,
è un pò di giorni che sto cercando di risolvere in Mathematica un problema di cinematica inversa. Mi sono imbattuto nel dover risolvere un sistema per Theta1, Theta2, Theta3
il sistema è formato da queste 3 equazioni:
[img]http://banonicola.zapto.org:8080/prob.JPG[/img]
secondo voi è possibile risolverlo??? al posto che usare ArcCos, preferirei usare Atan2 che fornirebbe un risultato più adatto al mio scopo.
Grazie in anticipo a tutti per i suggerimenti
è un pò di giorni che sto cercando di risolvere in Mathematica un problema di cinematica inversa. Mi sono imbattuto nel dover risolvere un sistema per Theta1, Theta2, Theta3
il sistema è formato da queste 3 equazioni:
[img]http://banonicola.zapto.org:8080/prob.JPG[/img]
secondo voi è possibile risolverlo??? al posto che usare ArcCos, preferirei usare Atan2 che fornirebbe un risultato più adatto al mio scopo.
Grazie in anticipo a tutti per i suggerimenti
Risposte
Ovviamente dimenticavo di dire, quei "coefficienti sono generati dai parametri da me inseriti, posso astrarre da ciò.
Il tuo sistema è decisamente faticoso da leggere e mi suscita dei dubbi; eccoli:
- cosa indicano le scritte pwx e simili?
- la scritta out[17]=0. + della prima equazione (e simili) è matematicamente trascurabile?
- conto 7 diversi coefficienti (trascurando gli 1): hai inserito 7 diversi parametri o sono collegati fra loro in qualche modo?
- non so nulla di cinematica inversa, ma forse il problema sarebbe più semplice se preso un po' più a monte: è possibile?
Per quanto riguarda la soluzione, un'idea è questa: l'angolo $theta_1$ non compare nella terza equazione, mentre le prime due sono lineari nel suo seno e coseno e questo permette di ricavare da esse un'equazione che non contiene quest'angolo. Ci riduciamo così ad un sistema di due equazioni nelle incognite $theta_2, theta_3$ che dovrebbe essere risolubile, usando se necessario le formule parametriche. Ho provato a fare i calcoli ma sono molto lunghi e, stante anche i dubbi esposti, non li ho conclusi.
- cosa indicano le scritte pwx e simili?
- la scritta out[17]=0. + della prima equazione (e simili) è matematicamente trascurabile?
- conto 7 diversi coefficienti (trascurando gli 1): hai inserito 7 diversi parametri o sono collegati fra loro in qualche modo?
- non so nulla di cinematica inversa, ma forse il problema sarebbe più semplice se preso un po' più a monte: è possibile?
Per quanto riguarda la soluzione, un'idea è questa: l'angolo $theta_1$ non compare nella terza equazione, mentre le prime due sono lineari nel suo seno e coseno e questo permette di ricavare da esse un'equazione che non contiene quest'angolo. Ci riduciamo così ad un sistema di due equazioni nelle incognite $theta_2, theta_3$ che dovrebbe essere risolubile, usando se necessario le formule parametriche. Ho provato a fare i calcoli ma sono molto lunghi e, stante anche i dubbi esposti, non li ho conclusi.
Ho modificato il sistema, forse ora è più leggibile.
gli alfa, d,a, pwx,pwx,pwy sono paramenti, e come già detto il sistema dovrei risolverlo in theta1, theta2, theta3.
dalla terza come posso tirar fuori i valori di sen[Theta3] e cos[Theta3]??
Grazie per le risposte
gli alfa, d,a, pwx,pwx,pwy sono paramenti, e come già detto il sistema dovrei risolverlo in theta1, theta2, theta3.
dalla terza come posso tirar fuori i valori di sen[Theta3] e cos[Theta3]??
Grazie per le risposte
Il fatto che le $a_i$ compaiano sia come normali coefficienti che all'interno di funzioni goniometriche non semplifica certo il problema; un'altra complicazione è data dalla presenza di molti parametri. Per risolvere la terza equazione io suggerirei di porre $y=tg \frac {theta_3} 2$, con il che
$cos theta_3=(1-y^2)/(1+y^2)$ e $sen theta_3=(2y)/(1+y^2)$ (e magari operare similmente con $theta_2$): ottieni un'equazione di secondo grado in $y$ e puoi risolverla. Come ho già detto, ci sono però troppi parametri, quindi i calcoli risultano lunghi ed è facile sbagliarli.
$cos theta_3=(1-y^2)/(1+y^2)$ e $sen theta_3=(2y)/(1+y^2)$ (e magari operare similmente con $theta_2$): ottieni un'equazione di secondo grado in $y$ e puoi risolverla. Come ho già detto, ci sono però troppi parametri, quindi i calcoli risultano lunghi ed è facile sbagliarli.
bhe, per i calcoli lo sto facendo in mathematica. quindi non sarebbe un problema.
è che se gli faccio risolvere il sistema cosi brutalmente, lui crasha.
Altra cosa è che per trovare quelle soluzioni lui utilizza arcos e arcsen, io preferirei isolare quindi i sen[Theta] e cos[Theta] per poi applicare atan2.
quindi risolvere il sistema per sen[Thetai] e cos[Thetai]. non se mi son spiegato bene. bastano però quelle 3 equazioni per estrarre i sen e cos di tutti i theta???
per quanto riguarda i parametri, li tratterei come semplici coefficienti.
è che se gli faccio risolvere il sistema cosi brutalmente, lui crasha.
Altra cosa è che per trovare quelle soluzioni lui utilizza arcos e arcsen, io preferirei isolare quindi i sen[Theta] e cos[Theta] per poi applicare atan2.
quindi risolvere il sistema per sen[Thetai] e cos[Thetai]. non se mi son spiegato bene. bastano però quelle 3 equazioni per estrarre i sen e cos di tutti i theta???
per quanto riguarda i parametri, li tratterei come semplici coefficienti.
In teoria, quelle tre equazioni dovrebbero bastare, purché mathematica sappia risolvere equazioni algebriche anche di grado elevato. Prova a spezzare il problema in questo modo: considera le sole prime due equazioni come un sistema nella incognite $sin theta_1$ e $cos theta_1$ e fallo risolvere. Credo convenga usare il metodo di Cramer, in modo da avere separatamente i numeratori e il denominatore. Applica poi la prima formula fondamentale della goniometria per ottenere un'equazione priva di $theta_1$ e mettila a sistema con la terza, dopo aver fatto le sostituzioni $x=tg \frac {theta_2} 2$ e $y=tg \frac {theta_3} 2$. Non credo che il sistema possa essere risolto in formula e quasi certamente occorre passare ai valori numerici; se necessario, qualche calcolo può essere fatto a mano, indicando con altre lettere degli interi blocchi.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo