Sistema
Su un tavolo c'è una collezione di monete d'oro. Tre amici, Paolo,Marco e Antonio, prendono ciascuno una parte di queste monete, senza lasciarne alcuna sul tavolo. Dopo poco:
-Paolo rimette sul tavolo la metà delle monete che ha preso.
-Marco rimette sul tavolo un terzo delle monete che ha preso.
-Antonio rimette sul tavolo un sesto delle monete che ha preso.
Le monete che complessivamente sono state rimesse sul tavolo vengono divise equamente in tre parti e ciascuno prende una di queste tre parti. A questo punto i tre amici si accorgono che Paolo si trova ad avere esattamente la metà delle monete che c'erano inizialmente sul tavolo, Marco si trova ad averne esattamente un terzo e Antonio un sesto. Determina il numero delle monete che c'erano inizialmente sul tavolo, sapendo che esse sono meno di 500.
Ragionamento: Con $ C $ identifico totale delle monete, $ P+M+A=C $ .
Le monete messe sul tavolo sono : $ 1/2P+1/3M+1/6A $ ; ognuno riprenderà $ 1/6P+1/9M+1/18A $ .
Quindi per ognuno degli amici posso impostare un'equazione, sommando quello che ha ritenuto e quello che ha ripreso equiparandolo a quanta frazione del totale ammonta.
Es. Paolo: $ 1/2P+1/6P+1/9M+1/18A=(P+M+A)/2 $ .
Mi viene fuori un sistema :
$ { ( 3P-7M-8A=0 ),( -3P+8M-5A=0 ),( -M+13A=0 ):} $ . Questo sistema non mi porta a soluzione, quindi provo a stabilire valore di $ M $ , che deve essere divisibile per $ 13 $ e $ 9 $ e con $ A $ che deve essere divisibile per $ 18 $ ; ma non riesco a restare sotto le $ 500 $ monete.
-Paolo rimette sul tavolo la metà delle monete che ha preso.
-Marco rimette sul tavolo un terzo delle monete che ha preso.
-Antonio rimette sul tavolo un sesto delle monete che ha preso.
Le monete che complessivamente sono state rimesse sul tavolo vengono divise equamente in tre parti e ciascuno prende una di queste tre parti. A questo punto i tre amici si accorgono che Paolo si trova ad avere esattamente la metà delle monete che c'erano inizialmente sul tavolo, Marco si trova ad averne esattamente un terzo e Antonio un sesto. Determina il numero delle monete che c'erano inizialmente sul tavolo, sapendo che esse sono meno di 500.
Ragionamento: Con $ C $ identifico totale delle monete, $ P+M+A=C $ .
Le monete messe sul tavolo sono : $ 1/2P+1/3M+1/6A $ ; ognuno riprenderà $ 1/6P+1/9M+1/18A $ .
Quindi per ognuno degli amici posso impostare un'equazione, sommando quello che ha ritenuto e quello che ha ripreso equiparandolo a quanta frazione del totale ammonta.
Es. Paolo: $ 1/2P+1/6P+1/9M+1/18A=(P+M+A)/2 $ .
Mi viene fuori un sistema :
$ { ( 3P-7M-8A=0 ),( -3P+8M-5A=0 ),( -M+13A=0 ):} $ . Questo sistema non mi porta a soluzione, quindi provo a stabilire valore di $ M $ , che deve essere divisibile per $ 13 $ e $ 9 $ e con $ A $ che deve essere divisibile per $ 18 $ ; ma non riesco a restare sotto le $ 500 $ monete.
Risposte
Non sono $ 86 $. La collezione è più ricca
Ho provato a risolvere il problema e ho avuto la stessa sorpresa di zaser123. A questo punto, se devono essere meno di 500, l'unico numero minore di 500 che soddisfa tutte le equazioni è 0.
La soluzione del libro è $ 282 $ monete.
Hai ragione. Sia io che zaser siamo caduti nel tranello che dovessero essere interi anche ciascuno dei dati intermedi, mentre basta solo controllare che lo sia la loro somma.
Esatto era lì l'errore, interessa solo che il terzo totale sia intero. Grazie a tutti.
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